Komplexe Wegintegrale < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich wollte fragen, ob meine Berechungen zu der obigen Aufgabe richtig sind:
a)
[mm] $\integral_{\gamma_{1}}^{}{f(x)\ dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma_{1}(t))*\gamma_{1}'(t)\ dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(e^{i*t})*e^{i*t}*i\ dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{\left|(e^{i*t})^{2}\right|}{\overline{e^{i*t}}*(e^{i*t})^{2}}*e^{i*t}*i\ dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{e^{-i*t}*e^{2*i*t}}*e^{i*t}*i\ dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{e^{i*t}}*e^{i*t}*i\ dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{i\ dt}$
[/mm]
$= [mm] [i*t]_{0}^{2\pi} [/mm] = [mm] 2\pi*i$.
[/mm]
b)
[mm] $\integral_{\gamma_{1}}^{}{f(x)\ dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma_{1}(t))*\gamma_{1}'(t)\ dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(-2*i+e^{i*t})*e^{i*t}*i\ dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{\left|(-2*i+e^{i*t})^{2}\right|}{(\overline{-2*i + e^{i*t}})*(-2*i+e^{i*t})^{2}}*e^{i*t}*i\ dt}$
[/mm]
[mm] $=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{\left|(-2*i+e^{i*t})^{2}\right|}{(2*i + e^{-i*t})*(-2*i+e^{i*t})^{2}}*e^{i*t}*i\ dt}$
[/mm]
Ist das wirklich der richtige Weg? Weil jetzt wirds soviel Schreibaufwand. Oder gibt es einen besseren?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
[mm]\frac{\left| z^2 \right|}{\bar{z} \, z^2} = \frac{|z|^2}{\bar{z} \, z^2} = \frac{\bar{z} \, z}{\bar{z} \, z^2} = \frac{1}{z}[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für deine Antwort!
War denn die erste Aufgabe von oben richtig berechnet wäre meine 1. Frage.
Die zweite ist, ob ich dann die zweite richtig gerechnet habe:
Wegintegral $= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{-2*i+e^{i*t}}*e^{i*t}*i\ dt}$
[/mm]
$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{e^{i*t}*i}{-2*i+e^{i*t}}\ dt}$
[/mm]
Substitution $z = [mm] e^{i*t}$, [/mm] also $dt = [mm] \bruch{dz}{e^{i*t}*i}$, [/mm] Grenzen 0 -> 1, [mm] 2\pi [/mm] -> 1. Das ist jetzt aber komisch. Es stände da:
$= [mm] \integral_{1}^{1}{\bruch{1}{z-2*i}\ dz}$
[/mm]
und das wäre eigentlich 0?
Danke für eure Korrektur und Hilfe,
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei H = { z: Im(z) < 0}
bei der 2. Aufgabe liegt Dein Integrationsweg ganz in H.
Die Funktion $f(z) = 1/z$ hat auf H die Stammfunktion $Log(z)$ (Hauptzweig des Logarithmus). Also ist das Integral wegunabhängig. Da Dein Integrationsweg geschlossen ist, ist das Integral = 0.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred, danke für deine Antwort!
Jetzt ist mir alles klar.
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
|
