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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Fr 17.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Berechnen Sie Real- und Imaginärteil (x+iy):
[mm] \wurzel{7+24i} [/mm] |
Hallo Zusammen,
wir haben also eine komplexe Zahl z = [mm] \wurzel{7+24i}, [/mm] dies soll in die Form x+iy gebracht werden, also:
z = [mm] \wurzel{7+24i}
[/mm]
z² = 7+24i | für z nun x+iy einsetzen
(x+iy)² = 7+24i
x²+2iyx+i²y² = 7+24i
x²-y² + (2xy)i = 7+24i
damit die beiden Seiten gleich groß sind, muss der Real- und Imaginärteil gleich sein, also
1: x²-y² = 7
2: 2xy = 24 -> x = [mm] \bruch{24}{2y} [/mm] = [mm] \bruch{12}{y} [/mm] in 1: [mm] (\bruch{12}{y})² [/mm] - y² = 7
[mm] \bruch{144}{y²} [/mm] - y² = 7
[mm] \bruch{144-y^4}{y²}= [/mm] 7
[mm] 144-y^4 [/mm] = 7y²
[mm] -y^4-7y²+144 [/mm] = 0 | substitution c = y²
-c²-7c+144 = 0
[mm] c_{12} [/mm] = [mm] \bruch{7 \pm \wurzel{49-4(-1)(144)}}{2(-1)} [/mm] = [mm] \bruch{7 \pm 25}{-2} [/mm] -> [mm] c_1 [/mm] = -16 und [mm] c_2 [/mm] = 9
Rücksubstitution:
-16 = y²
9 = y²
Hierbei habe ich dann Probleme, würde sich für -16 = y² folgendes ergeben y = [mm] \pm [/mm] 4i? Wenn ich dies für y einsetze, dann erhalte ich für x keine reelle Werten (ohne i). Und dann für y² = 9, [mm] y=\pm [/mm] 3. Somit würde ich doch vier Lösungen erhalten, jedoch können es durch die Wurzel doch nur Zwei sein.
Ich habe das ganze noch über die Polarkoordinaten berechnet:
z² = 7+24i
w = 7+24i
|w| = [mm] \wurzel{7²+24²} [/mm] = 25
|z| = [mm] \wurzel{25} [/mm] = 5
arg w = [mm] arctan(\bruch{24}{7}) [/mm] - [mm] \pi; [/mm] arg [mm] w_{12} \bruch{arctan(\bruch{24}{7}) - \pi + 2\pi k}{2}, [/mm] k [mm] \in [/mm] {0,1}
[mm] z_{12} [/mm] = |z| [mm] \cdot{} [/mm] [ cos(arg [mm] w_{12}) [/mm] + i [mm] \cdot{} [/mm] sin(arg [mm] w_{12})]
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = 5 [ 0,6 + i [mm] \dot{} [/mm] (-0,8)] = 3-4i
[mm] z_2 [/mm] = 5 [ -0,6 + i (0,8)] = -3+4i
Es müsste aber auf beiden Wegen, das gleiche Ergebnis herauskommen.
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Fr 17.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie Real- und Imaginärteil (x+iy):
>
> [mm]\wurzel{7+24i}[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> wir haben also eine komplexe Zahl z = [mm]\wurzel{7+24i},[/mm] dies
> soll in die Form x+iy gebracht werden, also:
>
> z = [mm]\wurzel{7+24i}[/mm]
> z² = 7+24i | für z nun x+iy einsetzen
>
> (x+iy)² = 7+24i
> x²+2iyx+i²y² = 7+24i
> x²-y² + (2xy)i = 7+24i
>
> damit die beiden Seiten gleich groß sind, muss der Real-
> und Imaginärteil gleich sein, also
>
> 1: x²-y² = 7
> 2: 2xy = 24 -> x = [mm]\bruch{24}{2y}[/mm] = [mm]\bruch{12}{y}[/mm] in 1:
> [mm](\bruch{12}{y})²[/mm] - y² = 7
>
> [mm]\bruch{144}{y²}[/mm] - y² = 7
>
> [mm]\bruch{144-y^4}{y²}=[/mm] 7
>
> [mm]144-y^4[/mm] = 7y²
> [mm]-y^4-7y²+144[/mm] = 0 | substitution c = y²
> -c²-7c+144 = 0
>
> [mm]c_{12}[/mm] = [mm]\bruch{7 \pm \wurzel{49-4(-1)(144)}}{2(-1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{7 \pm 25}{-2}[/mm] -> [mm]c_1[/mm] = -16 und [mm]c_2[/mm] = 9
>
> Rücksubstitution:
> -16 = y²
> 9 = y²
>
> Hierbei habe ich dann Probleme, würde sich für -16 = y²
> folgendes ergeben y = [mm]\pm[/mm] 4i? Wenn ich dies für y einsetze,
> dann erhalte ich für x keine reelle Werten (ohne i).
Richtig, deswegen musst du diese beiden Lösungen weglassen. Gesucht sind ja nur solche Lösungen, für die x und y reell sind.
> Und
> dann für y² = 9, [mm]y=\pm 3[/mm].
Richtig, das sind die beiden möglichen Lösungen.
> Ich habe das ganze noch über die Polarkoordinaten
> berechnet:
>
> z² = 7+24i
> w = 7+24i
>
> [mm]|w| = \wurzel{7²+24²} = 25[/mm]
> [mm]|z| = \wurzel{25} = 5[/mm]
>
> [mm]\arg w = \arctan(\bruch{24}{7}) - \pi;[/mm]
Warum ziehst du hier [mm] $\pi$ [/mm] ab? Real- und Imaginärteil sind positiv, daher liegt $7+24i$ im ersten Quadranten, und der Winkel ist [mm] $\arctan(\bruch{24}{7}$. [/mm]
> [mm] \arg w_{12} = \bruch{\arctan(\bruch{24}{7}) - \pi + 2\pi k}{2}[/mm] , [mm]k\in {0,1}[/mm]
Richtig wäre: [mm] \arg w_{12} =\bruch{\arctan(\bruch{24}{7}) + 2\pi k}{2}[/mm] , [mm]k\in {0,1}[/mm]
> [mm]z_{12} = |z| \cdot{} [ \cos(\arg w_{12}) + i \cdot{} \sin(\arg w_{12})][/mm]
>
> [mm]z_1 = 5 [ 0,6 + i \dot{} (-0,8)] = 3-4i[/mm]
> [mm]z_2 = 5 [ -0,6 + i (0,8)] = -3+4i[/mm]
> Es müsste aber auf beiden Wegen, das gleiche Ergebnis
> herauskommen.
Da du [mm] $\pi/2$ [/mm] zuviel abziehst, kommen deine Zahlen um [mm] $\pi/2$ [/mm] gedreht heraus.
Viele Grüße
Rainer
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