Komplexe Zahl berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die komplexe Zahl in Form a+ib , ab€ [mm] \IR
[/mm]
(3+4i)^-1 |
Hallo,
bin noch ziehmlich unsicher, da die komplexen Zahlen für mich neu sind...
Ich weiß, dass
[mm] (3+4i)^{-1 }
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3+4i}
[/mm]
weiter weiß ich nun aber nicht...
Gilt es generell am Ende einfach nur ein Ergebnis wie z.B. = 123 zu haben?
Was ich bis jetzt über die komplexen zahlen weiß ist:
i² = -1
z = Re + Im
Danke im Voraus
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Hallo Paul,
> Berechnen Sie die komplexe Zahl in Form a+ib , ab€
> [mm]\IR[/mm]
>
> (3+4i)^-1
> Hallo,
> bin noch ziehmlich unsicher, da die komplexen Zahlen für
> mich neu sind...
>
> Ich weiß, dass
> [mm](3+4i)^{-1 }[/mm]
>
> [mm] \red{=} [/mm] !!!
Das sind doch "nur" Terme, also kein !! Äquivalenzzeichen
>
> [mm] \bruch{1}{3+4i} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> weiter weiß ich nun aber nicht...
Es gilt doch für komplexe Zahlen [mm] $z=x+i\cdot{}y$ [/mm] die Regel
[mm] $z\cdot{}\overline{z}=(x+i\cdot{}y)\cdot{}(x-i\cdot{}y)=x^2+y^2\in\IR$
[/mm]
Erweitere also den Bruch [mm] $\frac{1}{3+4\cdot{}i}$ [/mm] mit dem komplex konjugierten des Nenners:
[mm] $\frac{1}{3+4\cdot{}i}=\frac{\red{3-4\cdot{}i}}{(3+4\cdot{}i)\cdot{}\red{(3-4\cdot{}i)}}=....$
[/mm]
Dann wird der Nenner reell und du kannst die Zahl in der Normalform [mm] $a+b\cdot{}i$ [/mm] darstellen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Irgendwo habe ich einen Rechenfehler oder irgend eine Regel nicht beachtet...
Wenn ich mir jetzt nur den Nenner anschaue:
(3+4i) (3-4i)
= 9 - 12i + 12i - 4²*i²
= 9 + 16*i²
= 25 * i²
= -25
Laut Mathematica müsst das Ergebnis aber 25 (positiv) sein...
Wo liegt mein Fehler ? :(
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 So 04.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Sieh dir mal die 3. binomische Formel an mit $(a+b)*(a-b) \ = \ [mm] a^2 [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] b^2$ [/mm] .
$$(3+4i)*(3-4i) \ = \ [mm] 3^2-(4i)^2 [/mm] \ = \ [mm] 3^2-4^2*i^2 [/mm] \ = \ 9-16*(-1) \ = \ 9+16 \ = \ 25$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Danke Loddar :)
zur Aufgabe....
ich habe dann
[mm] \bruch{3-4i}{25} [/mm] = [mm] \bruch{3}{25} [/mm] - [mm] \bruch{4i}{25}
[/mm]
und was mache ich nun mit dem Ergebnis?
oder wars das schon :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 04.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Das war's ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Super, dann habe ich soweit alles verstanden :)
Wenn ich dann noch darf...
[mm] \bruch{1+i^3}{1-i^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{1+1 \* i^3}{1-1 \* i^3}
[/mm]
kann ich nun wieder mit dem komplex-konjugierten im Nenner erweitern?
Oder heißt das hier nicht mehr so ... 1 + [mm] i^3
[/mm]
Wenn ich das nun richtig verstanden habe, müsste der Nenner wieder Real werden, im Zähler fasse ich zusammen und habe am Ende wieder die form a+ib ?
Gruß,
Paul
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Hallo, den Weg hast du korrekt beschrieben, achte aber jetzt auf alle Binomischen Formeln! Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Ich probier dann mal meinen Lösungsweg....
[mm] \bruch{1+i^3}{1-i^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{(1+i^3)\*(1+i^3)}{(1-i^3)\*(1+i^3)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1+2i^3+i^6}{1^2-i^6}
[/mm]
Im Nenner habe ich die 3. Binom. Formel angewandt...
= [mm] \bruch{1+2i^3+i^6}{2}
[/mm]
das scheint mir aber irgendwie noch so alles richtig zu sein :(
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Hallo, das sieht doch sehr gut aus, der Nenner ist korrekt, zwei Hinweise
1) im Zähler steht ja auch [mm] i^{6}, [/mm] ebenso umformen, wie [mm] i^{6}, [/mm] was du im Nenner schon umgeformt hast,
2) im Zähler steht [mm] 2*i^{3}=2*i^{2}*i, [/mm] was [mm] i^{2} [/mm] ist, kennst du schon, somit dürfte der Term kein Problem sein,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Vielen Dank für Deine Hilfe steffi :)
[mm] \bruch{1+2i^3+i^6}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1+2i^3-1}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{2i^3}{2}
[/mm]
nun kürzen (glaub ich darf das :D)
= [mm] i^3
[/mm]
= -1
Was ich aber noch nicht verstehe:
1.) Wann darf ich das "i" auflösen ? Kann ich es immer machen wenn ich ein i sehe wo der Exponent größer 2 ist ? [mm] i^2 [/mm] , [mm] i^3 [/mm] , [mm] i^4 [/mm] ....
2.) Wenn nun -1 bei meiner Lösung oben richtig ist.... Ist es ja noch nicht alles oder ? - Ich muss laut Aufgabenstellung "die Komplexe zahl in der Form a+ib" rechnen....
Danke im Voraus ! :)
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Hallo Paul,
> Vielen Dank für Deine Hilfe steffi :)
>
> [mm]\bruch{1+2i^3+i^6}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1+2i^3-1}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2i^3}{2}[/mm]
>
> nun kürzen (glaub ich darf das :D)
> = [mm] i^3 [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> = -1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm] $i^3=i^2\cdot{}i=(-1)\cdot{}i=-i$
[/mm]
>
> Was ich aber noch nicht verstehe:
>
> 1.) Wann darf ich das "i" auflösen ? Kann ich es immer
> machen wenn ich ein i sehe wo der Exponent größer 2 ist ?
> [mm]i^2[/mm] , [mm]i^3[/mm] , [mm]i^4[/mm] ....
Die Potenzen von $i$ wiederholen sich in einem 4er-Zyklus:
[mm] $i^1=i$
[/mm]
[mm] $i^2=-1$
[/mm]
[mm] $i^3=i^2\cdot{}i=-i$
[/mm]
[mm] $i^4=(i^2)^2=1$
[/mm]
[mm] $i^5=i^4\cdot{}i=i=i^1$ [/mm] usw.
Das kannst du bei höheren Potenzen von $i$ stets verwenden..
>
> 2.) Wenn nun -1 bei meiner Lösung oben richtig ist.... Ist
> es ja noch nicht alles oder ? - Ich muss laut
> Aufgabenstellung "die Komplexe zahl in der Form a+ib"
> rechnen....
Wenn du eine reelle Zahl hast, so ist sie doch auch insbesondere komplex, sagen wir du hast die Zahl 3.
Die kannst du doch in der komplexen Normalenform schreiben als [mm] $3+0\cdot{}i$
[/mm]
> Danke im Voraus ! :)
Gerne
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Ich glaube mit Euch kann ich noch Hoffnung in Mathe haben =)
Okey.. soweit verstanden...
Habe hier noch 2 Aufgaben...
1 hab ich gelöst (meine richtig) und bei der letzten scheitere ich ...
1.)
[mm] \bruch{6+4i}{1+i}
[/mm]
= [mm] \bruch{(6+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}
[/mm]
= [mm] \bruch{(6+4i)(1 - i)}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(6 -6i +4i -4i^2)}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{6}{2} [/mm] - [mm] \bruch{2i}{2} [/mm] - [mm] \bruch{4i^2}{2}
[/mm]
= 3 - i - 2 [mm] \* i^2
[/mm]
= 3 - i - 2 [mm] \* [/mm] (-1)
= 5 - i
glaube ist richtig :)
Bei der letzten Aufgabe nun weiß ich nich tso richtig weiter.. Ich probier mal:
( [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{i}{\wurzel{2}})^j [/mm] , j = 2, 3 , 4
hm... das einzige was mir nun spontan einfällt, ist die 2,3,4 einzusetzen.
mit 2 hab ich dann die 1. Binom. Formel.. Mit 3,4 eingesetzt, fasse ich die klammern zusammen... Dann habe ich 3 Ausdrücke ... was mache ich dann?
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Hallo noch ens,
> Ich glaube mit Euch kann ich noch Hoffnung in Mathe haben
> =)
>
> Okey.. soweit verstanden...
>
> Habe hier noch 2 Aufgaben...
> 1 hab ich gelöst (meine richtig) und bei der letzten
> scheitere ich ...
>
>
> 1.)
>
> [mm]\bruch{6+4i}{1+i}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(6+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(6+4i)(1 - i)}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(6 -6i +4i -4i^2)}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{6}{2}[/mm] - [mm]\bruch{2i}{2}[/mm] - [mm]\bruch{4i^2}{2}[/mm]
>
> = 3 - i - 2 [mm]\* i^2[/mm]
>
> = 3 - i - 2 [mm]\*[/mm] (-1)
>
> = 5 - i
>
> glaube ist richtig :)
Jooo !!!
>
>
> Bei der letzten Aufgabe nun weiß ich nich tso richtig
> weiter.. Ich probier mal:
>
> ( [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}+ \bruch{i}{\wurzel{2}})^j[/mm] , j = 2,
> 3 , 4
>
>
> hm... das einzige was mir nun spontan einfällt, ist die
> 2,3,4 einzusetzen.
> mit 2 hab ich dann die 1. Binom. Formel.. Mit 3,4
> eingesetzt, fasse ich die klammern zusammen... Dann habe
> ich 3 Ausdrücke ... was mache ich dann?
Ja, Einsetzen ist der erste Weg, wenn du mal [mm] $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2$ [/mm] berechnet hast, bist du aber schon fertig, mach's mal... dann siehste warum 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Okey.... also :)
( [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{i}{\wurzel{2}})^2
[/mm]
Binomische Formel...
= ( [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}})^2 [/mm] + [mm] 2*(\bruch{1}{\wurzel{2}} \* \bruch{i}{\wurzel{2}} [/mm] ) + ( [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}})^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] +( 2* [mm] \bruch{i}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{i^2}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2i}{4}
[/mm]
= i
Wenn ich nun richtig gerechnet habe, sollte das Ergebnis i sein.
Aber die Erleuchtung warum es für j = 3, 4 egal ist kam nicht :( :D
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Hi nochmal,
> Okey.... also :)
>
> ( [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] + [mm]\bruch{i}{\wurzel{2}})^2[/mm]
>
> Binomische Formel...
>
> = ( [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}})^2[/mm] + [mm]2*(\bruch{1}{\wurzel{2}} \* \bruch{i}{\wurzel{2}}[/mm]
> ) + ( [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}})^2[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +( 2* [mm]\bruch{i}{2})[/mm] + [mm]\bruch{i^2}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{2i}{\red{2}}[/mm]
>
> = i
>
> Wenn ich nun richtig gerechnet habe, sollte das Ergebnis i
> sein.
Hast du
> Aber die Erleuchtung warum es für j = 3, 4 egal ist kam
> nicht :( :D
Es ist - wie du richtig berechnet hast:
$ [mm] \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2=i [/mm] $
Damit ist doch für $j=3$:
$ [mm] \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^3=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot{}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)=i\cdot{}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)=....$
[/mm]
Und für $j=4$:
[mm] $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^4=\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2\right]^2=....$
[/mm]
OK?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Wenn ich dies ausrechne:
$ [mm] \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^3=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2 \cdot{}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)=i\cdot{}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)
[/mm]
= [mm] \bruch{i-1}{\wurzel{2}}
[/mm]
mit j = 4,
[mm] \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^4
[/mm]
komme ich auf [mm] i^2, [/mm] also -1...
Den zusammenhang seh ich aber immer noch nicht ;o)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 So 04.11.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Achsooo.. und ich habe die ganze Zeit nach einem Zusammenhang gesucht :) hihi
Dennoch vielen vielen Dank für Deine Hilfe.
Verstehe es nun.
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