Komplexe Zahl hoch x - Trick? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | z = 1/2 + i [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
a ) z^-1
b) [mm] z^3
[/mm]
c) z^777 |
Moin Leute!
Gibt es bei den Aufgaben einen Trick, wie man sie ohne Taschenrechner innerhalb von maximal 2 Minuten lösen kann?
Ich mein a) kann man schaffen. Aber bei b) hapert es und bei c) wüsste ich gar nicht, wie ich da rangehen soll.
Ich wäre euch sehr dankbar für Hilfe :)
MfG
Akkulader
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Hallo,
> z = 1/2 + i [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
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> a ) z^-1
> b) [mm]z^3[/mm]
> c) z^777
> Moin Leute!
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> Gibt es bei den Aufgaben einen Trick, wie man sie ohne
> Taschenrechner innerhalb von maximal 2 Minuten lösen
> kann?
> Ich mein a) kann man schaffen. Aber bei b) hapert es und
> bei c) wüsste ich gar nicht, wie ich da rangehen soll.
>
>
> Ich wäre euch sehr dankbar für Hilfe :)
Das ist kein Trick, sondern ein äußerst wichtiger Sachverhalt: die Multiplikatzion in [mm] \IC [/mm] hat in der Gaußschen Ebene folgende Wirkung:
- der Betrag des Produkts ist das Produkt der beiden einzelnen Beträge
- das Argument des Produkts ist die Summe der beiden einzelnen Argumente
Überlege dir also auf elementar-geometrischem Weg |z| sowie arg(z) und wende o.g. Sachverhalt an. Dann erübrigt sich in diesem Fall auch das Problem mit den hoch 777...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 30.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Akkulader!
Der "Trick" ist schlicht und ergreifend die Anwendung der  Moivre-Formel.
Gruß
Loddar
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Hmm.. wie komm ich denn auf den Winkel und vor allem. Wie soll ich im Kopf denn innerhalb der Zeit den Sinus/Cosinus berechen??
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Hallo,
den Betrag bekommst du mit dem Satz des Pythagoras. Das Argument ist hier [mm] arctan(\wurzel{3}), [/mm] was das ist, sollte man freilich wissen, wenn man sich mit Komplexen Zahlen beschäftigt. Du findest in jeder Formelsammlung eine Tabelle mit gewissen wichtigen Werten der Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens. Auch eine Rekapitulierung der Definitionen dieser Funktionen schadet nicht, wenn man so etwas nicht mehr weiß...
Gruß, Diophant
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