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| Aufgabe | | Ermitteln sie folgende Zahlen und tragen sie diese in die gaußsche Zahlenebene ein! Taschenrechner sind nicht erlaubt! |
Geg.: [mm] z_1=3\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°)); z_2=2\*(\cos(135°)+i\*\sin(135°)); [/mm]
Ges:: [mm] z_3=-3\*z_1 [/mm] + [mm] 2\*i\*z_2; z_3=\bruch{z_1}{z_2}\*(i-1)
[/mm]
Hallo zusammen!
Wer kann mir bei der Überprüfung und Fortführung meiner Rechenwege helfen? Ich benutze zur Abschätzung der Werte den Einheitskreis, da ein Taschenrechner nicht erlaubt ist.
Mein Rechenweg:
[mm] z_3=-9\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))+4\*i\*((\cos(135°)+i\*\sin(135°))
[/mm]
[mm] z_3=-9\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))+4\*((\cos(135°)+i^{2}\*\sin(135°))
[/mm]
[mm] z_3=-9\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))+4\*((\cos(135°)-1\*\sin(135°))
[/mm]
[mm] z_3=(-9\*(\cos(240°)+4\*((\cos(135°))-1\*\sin(135°))
[/mm]
[mm] +(i\*\sin(240°))
[/mm]
Habe ich mich da irgendwo verrannt? Wenn ja wo? 
[mm] z_4=\bruch{z_1}{z_2}\*(i-1)
[/mm]
[mm] z_4=\bruch{3}{2}\*[\cos(240°-135°)+i\*\sin(240°-135°)]\*(i-1)
[/mm]
[mm] z_4=\bruch{3}{2}\*[\cos(105°)+i\*\sin(105°)]\*(i-1)
[/mm]
[mm] z_4=-1\*\bruch{3}{2}\*[\cos(105°)+i^{2}\*\sin(105°)]
[/mm]
[mm] z_4=-\bruch{3}{2}\*[\cos(105°)-1\*\sin(105°)]
[/mm]
[mm] z_4=-\bruch{3}{2}\*[\cos(105°)-\sin(105°)]
[/mm]
[mm] z_4=-\bruch{3}{2}\*[-\bruch{1}{4}-\bruch{19}{20}]
[/mm]
[mm] z_4=-\bruch{3}{2}\*[-\bruch{6}{5}]
[/mm]
[mm] z_4=\bruch{18}{10}
[/mm]
[mm] z_4=\bruch{9}{5}
[/mm]
Der Punkt liegt auf der x-Achse(Re) bei 1,8, richtig?
Danke für die Hilfe im Voraus!
Ich habe in keinem anderen Forum diese Frage gestellt.
Gruß, Marty
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 20.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo marty
> Ermitteln sie folgende Zahlen und tragen sie diese in die
> gaußsche Zahlenebene ein! Taschenrechner sind nicht
> erlaubt!
> Geg.: [mm]z_1=3\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°)); z_2=2\*(\cos(135°)+i\*\sin(135°));[/mm]
>
> Ges:: [mm]z_3=-3\*z_1[/mm] + [mm]2\*i\*z_2; z_3=\bruch{z_1}{z_2}\*(i-1)[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Wer kann mir bei der Überprüfung und Fortführung meiner
> Rechenwege helfen? Ich benutze zur Abschätzung der Werte
> den Einheitskreis, da ein Taschenrechner nicht erlaubt
> ist.
>
> Mein Rechenweg:
>
> [mm]z_3=-9\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))+4\*i\*((\cos(135°)+i\*\sin(135°))[/mm]
[mm]z_3=-9\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))+4\*((\cos(135°)+i^{2}\*\sin(135°))[/mm]
FEHLER! DU HAST I NUR MIT DEM 2TEN TERM MULT, NICHT MIT DEM ERSTEN.
[mm] 4\*i\*((\cos(135°)+i\*\sin(135°))=4*i*cos(135)-4sin(135)
[/mm]
den Rest selbst verbessern!
>[mm]z_3=-9\*(\cos(240°)+i\*\sin(240°))+4\*((\cos(135°)-1\*\sin(135°))[/mm]
> [mm]z_3=(-9\*(\cos(240°)+4\*((\cos(135°))-1\*\sin(135°))[/mm]
> [mm]+(i\*\sin(240°))[/mm]
>
> Habe ich mich da irgendwo verrannt? Wenn ja wo?
Siehe oben.
solltest du nicht die Zahlen einsetzen?i.A. nehmen Profs an, dass man die sin und cos Werte von 30, 45, 60 kennt, weil sie leicht mit Pythagoras zu rechnen sind [mm] :sin45=cos45=0,5*\wurzel{2}, [/mm] sin30=cos60=0,5 [mm] sin60=cos30=0,5*\wurzel{3}
[/mm]
damit dann natuerlich auch 135=90+45, 240=180+60 usw.
> [mm]z_4=\bruch{z_1}{z_2}\*(i-1)[/mm]
Wenn du hier [mm] i-1=\wurze{2}*(cos135+isin135) [/mm] einsetzt sparst du viel Zeit.
ebenso oben !
>[mm]z_4=\bruch{3}{2}\*[\cos(240°-135°)+i\*\sin(240°-135°)]\*(i-1)[/mm]
> [mm]z_4=\bruch{3}{2}\*[\cos(105°)+i\*\sin(105°)]\*(i-1)[/mm]
> [mm]z_4=-1\*\bruch{3}{2}\*[\cos(105°)+i^{2}\*\sin(105°)][/mm]
Was du hier gemacht hast, versteh ich ueberhaupt nicht!
du hast doch :
[mm] z_4=\bruch{3}{2}\*[\cos(105°)+i\*\sin(105°)]\*i +\bruch{3}{2}\*[\cos(105°)+i\*\sin(105°)]\*(-1)[/mm]
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2}*(-\cos(105°)-\sin(105°)+i(\cos(105°)-\sin(105°))
[/mm]
Rest selbst rechnen.
Wenn du z1 und z2 zuerst in die GZE gezeichnet haettest und dort die Rechnungen skizziert, waers einfacher gewesen.
auch mit ner Mischung aus kartesischer Darstellung (i-1) und polarer Darstellung zu arbeiten ist unguenstig und Fehlertraechtig!
Aber aller Anfang ist schwer, und bald ists so einfach wies kleine 1*1!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 20.02.2007 | | Autor: | Marty1982 |
Das sagst du was...
Aber ich habe ja noch etwas Zeit und es ist nur ein [mm] \bruch{1}{3} [/mm] einer Klausur, daher wird es hoffentlich noch klappen...
Ich danke dir für deine Hilfe und melde mich nochmals, wenn es weiterhin unklar ist.
Gruß, Marty
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Wieso kann ich i-1= [mm] 2\*(\cos(135)+ i\*\sin(135)) [/mm] also [mm] z_2 [/mm] setzen? Leider habe ich nichts dazu gefunden und mir fällt auch nicht ein weshalb es so ist...
Bin schon ein echter "komplexer-Zahlen-Laie"!!^^
Aber evtl. könnte mir einer doch weiterhelfen.
Lieben Dank und Gruß,
Marty
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 22.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne mal i-1 in das Koordinatennetz ein. dann siehst du hoffentlich, dass es auf der Winkelhalbierenden im 2. Quadranten liegt, also bei 135 Grd.
der Betrag ist [mm] \wurzel{2}
[/mm]
also gilt [mm] i-1=\wurzel{2}*(cos135+isin135) [/mm] das ist nicht z2, hab ich glaub ich auch nicht geschrieben! es ist [mm] z2/\wurzel{2}.
[/mm]
Anfangs, solang man das noch nicht im Kopf hat, lohnt es sich die komplexen Zahlen, mit denen man hantiert immer in der Gausschen ZE einzuzeichnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 22.02.2007 | | Autor: | Marty1982 |
Okay, das verstehe ich. Vielen Dank an meinen Privatlehrer...
Ich dachte es wäre [mm] z_2, [/mm] da du die Wurzel nicht geschrieben hattest...
Danke nochmals!
Gruß, Marty
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