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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Di 14.02.2006 | | Autor: | asuka |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle z [mm] \in \IC [/mm] für die gilt:
[mm] z^{2} [/mm] = [mm] \overline{z} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe die oben genannte Aufgabe gerechnet. Ich weiß aber nicht so recht ob das richtig ist und wie genau ich eine Lösung angeben soll.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Würde mich freuen wenn mir einer helfen könnte.
(x + iy) (x + iy) = x - iy / ersetzten von z
[mm] x^{2} [/mm] + 2 ixy - [mm] y^{2} [/mm] = x - iy / ausmultiplizieren der linken seite
[mm] x^{2} [/mm] + 2 ixy - [mm] y^{2} [/mm] - x + iy = 0 / alles auf eine Seite
jetzt hab ich nach Real und Imaginärteil aufgeteilt
Realteil:
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] + x = 0
Imaginärteil:
2 xy + y = 0
Habe jetzt erstmal die Gleichung für den Imaginärteil nach x aufgelöst:
2 xy + y = 0
y = - 2 xy |/ y
[mm] \bruch{y}{y} [/mm] = -2 x |/ -2
[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] = x
Dieses Ergebnis dann in die Glaichung für den Realteil eingesetzt um y zu bestimmen:
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] + x = 0
[mm] -\bruch{1}{2}^{2} [/mm] - [mm] y^{2} -\bruch{1}{2}
[/mm]
- [mm] y^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] | [mm] \wurzel{ }
[/mm]
- y = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |* -1
y = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Das ist alles was ich soweit habe. Würde mich über jede Hilfe freuen.
Danke.
Mfg asuka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Di 14.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo asuka,
1. ist mir zunächst beim Überfliegen ein Vorzeichenfehler aufgefallen:
Im abgetrennten Realteil muss es -x lauten, also
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] - x =0
2. Bei der Berechnung im Imaginärteil teilst Du durch y, dadurch entgeht Dir die Lösung y=0. Also erst links y ausklammern, dann durch die Klammer teilen.
hth,
ardik
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Di 14.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo asuka,
ich setzte bei Deiner Aufteilung nach Real- und Imaginärteil ein:
> [mm]x^{2}[/mm] + 2 ixy - [mm]y^{2}[/mm] - x + iy = 0
Realteil:
[mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] - x = 0 // Da war ein Vorzeichenfehler (" [mm]+x[/mm] ")
Imaginärteil:
[mm]2 xy + y = 0[/mm]
Gleichung für den Imaginärteil auflösen:
[mm]y(2x+1) = 0 [/mm]
[mm]y= 0 \qquad \vee \qquad 2x+1=0[/mm]
[mm]y= 0 \qquad \vee \qquad x= -\bruch{1}{2}[/mm]
Beide Ergebnis nun unabhängig von einander in die Gleichung für den Realteil einsetzen:
1. Für [mm]y=0[/mm]:
------------
[mm]x^{2} - x =0[/mm]
[mm]x(x-1) =0[/mm]
[mm]x_{1}=0\qquad \vee \qquad x_{2}=1[/mm]
mit [mm]y=0[/mm] ergibt sich schon mal für z:
[mm]z_{1} = 0 + 0i[/mm]
[mm]z_{2} = 1 + 0i[/mm]
2. Für [mm] x = \bruch{1}{2}[/mm] :
-------------
[mm]\left(-\bruch{1}{2}\right)^{2}[/mm] - [mm]y^{2} +\bruch{1}{2} = 0[/mm]
[mm] -y^{2}=-\bruch {3}{4}[/mm]
[mm] y = \wurzel{\bruch {3}{4}}[/mm]
Mit [mm] x = -\bruch{1}{2}[/mm] ergibt sich
[mm] z_3 = -\bruch{1}{2} + \wurzel{\bruch {3}{4}}\ i[/mm]
So, das war's. Deine Frage, wie die Ergebnisse dagestellt werden können, hat sich - glaube ich - gleich mit geklärt.
Und die gute alte Probe überlasse ich jetzt Dir.
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Di 14.02.2006 | | Autor: | asuka |
Dankeschön!
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