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Komplexe Zahlen: Beweis mit gleichseit. Dreieck
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Fr 15.12.2006
Autor: MichiNes

Aufgabe
Zeigen Sie: [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \IC [/mm] sind genau dann Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, wenn gilt:

[mm] a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1} [/mm]

Hallo,

ich blick mal wieder nicht ganz durch bei der Aufgabe. Zu zeigen sind ja zwei Implikationen:

1. Ecken gleichseit. Dreieck ==> Aussage gilt.
2. Aussage gilt ==> Ecken eines gleichseit. Dreiecks

Bloß wie funktioniert das? Was kann ich folgern, wenn a1, a2, a3 Ecken eines gleichseitigen Dreiecks sind??

Oder hat mir irgendjemand auch nen anderen Tipp?

Danke schon mal.

Gruß Michi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Fr 15.12.2006
Autor: leduart

Hallo
Seiten alle gleich heisst doch:|a1-a2|=|a1-a3|=|a2-a3|
daraus muss deine Formel, und aus der Formel das folgen.
Wenn die Beträge gleich sind, dann natürlich auch die Quadrate, du musst also nicht mit Wurzeln rechnen.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Fr 15.12.2006
Autor: MichiNes

Hi leduart,

also ich glaub ich hab dich verstanden. Bin auch dann mal nach deinem Plan ans Werk gegangen, hab aber nicht das erwünschte herausbekommen.
So hab ichs gemacht:

Seiten gleich ==> [mm] (a_{1}-a_{2})^{2}=(a_{2}-a_{3})^{2}=(a_{3}-a_{1})^{2} [/mm]

Binom. Formel: [mm] a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}=a_{2}^{2}-2a_{2}a_{3}+a_{3}^{2}=a_{3}^{2}-2a_{3}a_{1}+a_{1}^{2} [/mm]

Weil die alle gleich sind darf ich folgendes machen:

[mm] a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}+a_{2}^{2}-2a_{2}a_{3}+a_{3}^{2}+a_{3}^{2}-2a_{3}a_{1}+a_{1}^{2}-3(a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2})=0 [/mm]

Wenn ich das aber zusammenfasse und vereinfache bleibt am Ende stehen:

[mm] a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=4a_{1}a_{2}-2a_{2}a_{3}-2a_{3}a_{1} [/mm]

Und das ist leider nur FAST die Aussage auf die ich kommen will.

Hab ich was falsch gemacht auf dem Weg oder bin ich einen falschen Weg gegangen??

Danke schon mal!

Gruß Michi


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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Fr 15.12.2006
Autor: Leopold_Gast

[mm]|z|^2 = z^2[/mm] ist im Komplexen falsch. Richtig ist vielmehr: [mm]|z|^2 = z \bar{z}[/mm]

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Fr 15.12.2006
Autor: MichiNes

Hallo,

jo stimmt. Hätt ich auch selbst draufkommen können :-)

Naja habs jetzt mal umgeschrieben und komm dann, wenn man definiert [mm] a_{1}=a+ib, a_{2}=c+id, a_{3}=e+if [/mm]
auf
[mm] |a_{1}-a_{2}|=(a-c)^{2}+(b-d)^{2} [/mm]
[mm] |a_{2}-a_{3}|=(c-e)^{2}+(d-f)^{2} [/mm]
[mm] |a_{1}-a_{3}|=(a-e)^{2}+(b-f)^{2} [/mm]

Wie komm ich da aber jetzt weiter? Das kann ich ja jetzt nicht so geschickt verwenden.

Danke schon mal

Gruß Michi

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Sa 16.12.2006
Autor: angela.h.b.

>
> Naja habs jetzt mal umgeschrieben und komm dann, wenn man
> definiert [mm]a_{1}=a+ib, a_{2}=c+id, a_{3}=e+if[/mm]
>  auf
>  [mm]|a_{1}-a_{2}|^2=(a-c)^{2}+(b-d)^{2}[/mm]
>  [mm]|a_{2}-a_{3}|^2=(c-e)^{2}+(d-f)^{2}[/mm]
>  [mm]|a_{1}-a_{3}|^2=(a-e)^{2}+(b-f)^{2}[/mm]
>  
> Wie komm ich da aber jetzt weiter? Das kann ich ja jetzt
> nicht so geschickt verwenden.

Hallo,

ich denke schon, daß man es verwenden kann.

Da die Seiten gleichlang sind, hast Du nun Gleichungen
[mm] (a-c)^{2}+(b-d)^{2}=(c-e)^{2}+(d-f)^{2} [/mm]
[mm] (a-c)^{2}+(b-d)^{2}=(a-e)^{2}+(b-f)^{2} [/mm]
[mm] (c-e)^{2}+(d-f)^{2} =(a-e)^{2}+(b-f)^{2} [/mm]


Unter Berücksichtigung von
[mm] a_{1}=a+ib, a_{2}=c+id, a_{3}=e+if [/mm]

könntest du nun

[mm] a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=... [/mm]

aufschreiben, und dann mithilfe der drei Gleichungen oben zu

...= [mm] a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{1} [/mm]   umformen.

Gruß v. Angela

Bezug
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