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Komplexe Zahlen: z*z^-1=1 ?!?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Sa 20.11.2004
Autor: moebak

Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe aus einem Übungsbuch, und bekomme für diese einfach nicht die richtige Lösung raus:

z*z^-1=1

wie folgt bin ich daran gegangen (in verkürzten Schritten):

z = a+bi
z^-1 = [mm] \bruch{1}{a-bi} [/mm]

[mm] \bruch{a+bi}{a-bi} [/mm]

= [mm] \bruch{(a+bi)(a+bi)}{(a-bi)(a+bi)} [/mm]

[mm] =\bruch{a^2+2abi-b^2}{a^2*b^2} [/mm]

= -2abi

Entweder ist da irgendwo ein Fehler, oder ich habe die Aufgabe nicht richtig verstanden.

Kann mir mal da jemand helfen???
Danke im Voraus.

        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Sa 20.11.2004
Autor: Micha

Hallo!
> Hallo,
>  ich habe hier folgende Aufgabe aus einem Übungsbuch, und
> bekomme für diese einfach nicht die richtige Lösung raus:
>  
> z*z^-1=1
>  
> wie folgt bin ich daran gegangen (in verkürzten
> Schritten):
>  
> z = a+bi
>  z^-1 = [mm]\bruch{1}{a-bi} [/mm]

Hier liegt schon der Fehler: z^-1 ist  [mm]\bruch{1}{a+bi} [/mm]. Warum? Also zunächst einmal ist [mm] \overline{z} = a - bi [/mm] die konjugiert komplexe Zahl zu z.

Was suchst du denn eigentlich mit dem z^-1 ? Das ist die komplexe Zahl, die mit z multupliziert 1 ergibt.
Nehmen wir mal  z*z-1 so wie ich oben. Dann gilt:

[mm] z*z^{-1} = \frac{a + bi}{1} * \frac{1}{a+bi} = \frac{a+bi}{a+bi} = 1[/mm].

Ich glaube du bist da nur mit dem konjugiert komplexen etwas durcheinander gekommen.

Gruß Micha ;-)

Bezug
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