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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Di 23.10.2007
Autor: cosmos321

Aufgabe
Berechne [mm] (i+1)^{4711} [/mm] in [mm] \IC [/mm]

Ich weiß, ich vermute diese Aufgabe ist wahrscheinlich gar nicht so schwer, komme aber trotzdem nicht darauf!

kann es sein, dass man die 4711 geschickt zerlegen muss um es weiter zu vereinfachen ?

NUR WIE?

Kann mir jemand helfen !

Gruß M.
        
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Di 23.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo cosmos,

wie wäre es, zuerst mal $z=(1+i)$ umzuschreiben in die trigonometrische Darstellung.

Dann kennst du bestimmt auch Hr. Moivre und seine nette Formel ;-)

Damit ist doch [mm] $z^{4711}$ [/mm] schnell bestimmt....


LG

schachuzipus

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Di 23.10.2007
Autor: cosmos321

Der Satz von Moivre sagt ja aus:

[mm] (cos(\phi)+isin(\phi))^{n}=(cos(n\phi)+isin(n\phi)) [/mm]

Wenn ich diesen nun auf eine beliebige komplexe Zahl [mm]z[/mm] anwende bekomme ich die Formel

[mm] z^{n}=|z|^{n}\*e^{in\phi}=|z|^{n}\*(cos(n\phi)+isin(n\phi)) [/mm]  !!


Wie bekomme ich jetzt aber für den Fall [mm] z^{4711} [/mm] das [mm] |z|^{n} [/mm] und das [mm] \phi [/mm] heraus ? Ist wahrscheinlich ne dumme Frage oder ? Aber ich seh es einfach nicht !
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Di 23.10.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Der Satz von Moivre sagt ja aus:
>  
> [mm] (cos(\phi)+isin(\phi))^{n}=(cos(n\phi)+isin(n\phi)) [/mm] [ok]
>  
> Wenn ich diesen nun auf eine beliebige komplexe Zahl [mm]z[/mm]
> anwende bekomme ich die Formel
>  
> [mm] z^{n}=|z|^{n}\*e^{in\phi}=|z|^{n}\*(cos(n\phi)+isin(n\phi)) [/mm] [ok]

>  
>
> Wie bekomme ich jetzt aber für den Fall [mm]z^{4711}[/mm] das
> [mm]|z|^{n}[/mm] und das [mm]\phi[/mm] heraus ? Ist wahrscheinlich ne dumme
> Frage oder

Nein, Fragen sind nie dumm

? Aber ich seh es einfach nicht !


Nun, du hast mit $z=(1+i)$ also [mm] $z^{4711}$ [/mm] zu bestimmen.

Wie berechnest du denn den Betrag einer komplexen Zahl $|z|=|1+i|$ ?

Und das Argument, also den Winkel [mm] $\phi$ [/mm] von $z=1+i$ kannst du entweder berechnen über die Formel [mm] $z=a+bi\Rightarrow arg(z)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ [/mm] oder vieeeeeeeeeel einfacher, wenn du 1+i mal in ein Koordinatensystem einzeichnest.

Den Winkel kannst du ablesen... ;-)


LG

schachuzipus
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Di 23.10.2007
Autor: cosmos321

Oh man bin ich blöd ! :-)

ALSO:

[mm] (1+i)^{4711]}=|\wurzel{2}|^{4711}\*(cos(4711\*\bruch{\pi}{4})+isin(4711\*\bruch{\pi}{4})) [/mm]

Soweit so klar !

Nur kann man das noch irgendwie geschickt vereinfachen???

Ich hätte gedacht da kommt jetzt vielleicht ein einigermaßen ansehnliches Ergebnis raus !
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Di 23.10.2007
Autor: schachuzipus

Jo hallo nochmal,

> Oh man bin ich blöd ! :-)

Na, na [aetsch]

>  
> ALSO:
>  
> [mm] (1+i)^{4711]}=\wurzel{2}^{4711}\*(cos(4711\*\bruch{\pi}{4})+isin(4711\*\bruch{\pi}{4})) [/mm] [daumenhoch]
>  
> Soweit so klar !
>  
> Nur kann man das noch irgendwie geschickt vereinfachen???
>  
> Ich hätte gedacht da kommt jetzt vielleicht ein
> einigermaßen ansehnliches Ergebnis raus !

Hmm, wohl kaum, ich meine, [mm] $\sqrt{2}^{4711}$ [/mm] ist schon ne Mörderzahl, also lässt sich das kaum vernünftig in der Form x+yi darstellen.

Ich hab DERIVE das mal berechnen lassen.

Halt dich fest ;-)

[mm] $(1+i)^{4711}=8426355713879108126343842687500943970836235038110354617404093304938074349211631235830783174438791471270957431289479329044652595627697902425282583112068735344310165902313648181755794080483398094644444517860111502350662463971187722114766110882399314361570739643334992787187108908931351337442004884675896028000814186672004783063411628641565388324090545527900452506889454930548918295673129696576885897841060912176610989425471466910957492056229646279352051225926630743123434103150021694145351329345802036256595762858216048428718611720285823529598026959677083749750813523747002747314652115545761681379029764854504955728773484957723071152533513445723252907304339955873306774249279512310412533792181988794598548307968 [/mm] - 8426355713879108126343842687500943970836235038110354617404093304938074349211631235830783174438791471270957431289479329044652595627697902425282583112068735344310165902313648181755794080483398094644444517860111502350662463971187722114766110882399314361570739643334992787187108908931351337442004884675896028000814186672004783063411628641565388324090545527900452506889454930548918295673129696576885897841060912176610989425471466910957492056229646279352051225926630743123434103150021694145351329345802036256595762858216048428718611720285823529598026959677083749750813523747002747314652115545761681379029764854504955728773484957723071152533513445723252907304339955873306774249279512310412533792181988794598548307968 [mm] \cdot{}i$ [/mm]


hehe.


LG

schachuzipus
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Di 23.10.2007
Autor: leduart

Hallo
rechne mal die ersten 4 Potenzen aus, möglichst in der Form [mm] z=r*e^{\i\phi} [/mm] wenn du die kennst. sonst einfach. und dann [mm] (1+i)^8 [/mm]
Dann hast du ein Aha Erlebnis. klammer immer so aus, dass beim Realteil und Imaginärteil ne 1 steht!
Gruss leduart
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Di 23.10.2007
Autor: cosmos321

Hallo Leduart,

ich versteh nicht wie du das meinst ?

Bekommt man denn ein schönes Ergebnis raus oder geht es überhaupt nicht ??

Gruß M.
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Di 23.10.2007
Autor: leduart

Hallo
ich hatte die anderen Antworten nicht gesehen.
aber ja, es geht schnell zu rechnen und vereinfacht das ganze sehr, wenn man nicht mit den sin,cos rechnen will.
Gruss leduart
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Di 23.10.2007
Autor: cosmos321

Hallo Leduart,

würde es dir etwas ausmachen mir mal deinen Rechenweg aufzuschreiben ??

Das wäre echt super, ich würde gerne mal die Alternative zu sin und cos sehen!

Danke im Voraus

Gruß M.
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:58 Mi 24.10.2007
Autor: leduart

Hallo
[mm] (1+i)^4=4*(-1) [/mm]
denn [mm] (1+i)^2=2*i [/mm]
damit [mm] (1+i)^8=16 [/mm]
4711=4704+7=588*8+7
[mm] (1+i)^{4711}=16^{588}*(1+i)^7=2^{2352}*(-8i)*(1+i)=2^{2355}(1-i) [/mm]
warum konntest du [mm] (1+i)^2 [/mm] usw nicht selbst  ausrechnen?
die Rechnung ab 4711 nachrechnen, es ist schon spät, da mach ich bei einfachen Rechnungen immer Fehler!
Gruss leduart

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