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Forum "komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Di 22.04.2008
Autor: Hello-Kitty

Aufgabe
Löse folgende quadratische Gleichungen:

[mm] 1.)z^2-(1+2i)z+i-1=0 [/mm]
[mm] 2.)z^2-(2-2i)z+3-2i=0 [/mm]

Hallöchen!
Ich stocke ziemlich bei dieser Aufgabe...

Ich muss ja einfach die PQ-Formel anwenden..

Aber dabei stocke ich schon...

z1/2=  .. wie genau ist das denn schon hier, welches i und welches z muss ich da mit reinnehmen...

Oje, kann mir da vllt. jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben?

Danke

        
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Di 22.04.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

Wie du schon gesagt hast kannst du die p-qFormel benutzen...Einfach dann einsetzen. Dein p=(1+2i) und dein q=i+1

das i ist die sogennante imaginäre Zahl und es gilt [mm] i\cdot\\i=i^{2}=-1 [/mm]

Ich kann dir schnell noch ein Beispiel geben:

[mm] z^{2}+2iz+5=0 [/mm]
Nun verwende ich die quadratische Ergänzung kann aber auch die p-q Formel benutzen, dann erhalte ich
[mm] (z+i)^{2}+6=0 [/mm]
[mm] (z+i)^{2}=-6 [/mm]
[mm] (z+i)=\pm\wurzel{-6} [/mm]
[mm] (z+i)=\pm\\i\wurzel{6} [/mm]
Also habe ich die Lösungen:
[mm] z_{1}=i(\wurzel{6}-1) [/mm]
[mm] z_{2}=-i(\wurzel{6}+1) [/mm]

[hut] Gruß

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Di 22.04.2008
Autor: Hello-Kitty

mhm..danke..aber ich weiß nich genau ob ich das verstanden habe..
also ich würde nun rechnen:

z1/2= [mm] \bruch{1+2i}{2} \pm \wurzel{((\bruch{1+2i}{2})^2+i+1)} [/mm]

...oje und nun,,?

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Di 22.04.2008
Autor: Martinius

Hallo,

> mhm..danke..aber ich weiß nich genau ob ich das verstanden
> habe..
>  also ich würde nun rechnen:
>  
> z1/2= [mm]\bruch{1+2i}{2} \pm \wurzel{((\bruch{1+2i}{2})^2+i+1)}[/mm]
>  
> ...oje und nun,,?

Ein Vorzeichenfehler unter der Wurzel; dann unter der Wurzel ausmultiplizieren:

[mm] z_{1,2}=[/mm]  [mm]\bruch{1}{2}+i \pm \wurzel{\left(\bruch{1}{2}+i\right)^2-i+1}[/mm]

[mm] z_{1,2}=[/mm]  [mm]\bruch{1}{2}+i \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+i+i^2-i+1}[/mm]

[mm] z_{1,2}=[/mm]  [mm]\bruch{1}{2}+i \pm \wurzel{\bruch{1}{4}+i-1-i+1}[/mm]

[mm] z_{1,2}= \bruch{1}{2}+i \pm \bruch{1}{2} [/mm]


LG, Martinius







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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Di 22.04.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

möchte hier nur noch anmerken dass du(Hello Kitty) den Term (Lösung) [mm] \bruch{1}{2}+i\pm\bruch{1}{2} [/mm] zusammenfassen kannst/sollst.

[hut] Gruß

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Di 22.04.2008
Autor: Hello-Kitty

ok. habe also nun:
z1=1+i
und z2= i

dann hab ich nr. 2 veruscht:

z1/2= [mm] \bruch{2-2i}{2} \pm \wurzel{((\bruch{2-2i}{2})^2-3+2i)} [/mm]

ist das soweit richtig'?

dann weiter

[mm] \bruch{-1}{2}i \pm \wurzel{((\bruch{-1}{2}i)^2-3+2i)} [/mm]

[mm] =\bruch{-1}{2}i \pm \wurzel{(\bruch{1}{4}i^2-3+2i)} [/mm]
[mm] =\bruch{-1}{2}i \pm \wurzel{(\bruch{1}{4}-1-3+2i)} [/mm]

oje...da scheint was falsch..

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Di 22.04.2008
Autor: Steffi21

Hallo,

Ansatz stimmt, aber: [mm] \bruch{2-2i}{2}=1-i, [/mm] überprüfe auch noch das Binom [mm] (1-i)^{2} [/mm] Steffi



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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Di 22.04.2008
Autor: Hello-Kitty

ok, dann hab ich :

1-i [mm] \pm \wurzel{1^2-21+i^2-3+2i} [/mm]

= 1-i [mm] \pm \wurzel{-3} [/mm]

?

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Di 22.04.2008
Autor: Steffi21

Hallo, dein Problem ist jetzt [mm] \wurzel{-3}=\wurzel{(-1)*3}=\wurzel{-1}*\wurzel{3}= [/mm] ... und [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist? Steffi

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