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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Sa 30.08.2008 | | Autor: | marder |
| Aufgabe | | Skizzieren Sie die Menge M2 = {z ∈ [mm] \IC| [/mm] |z + [mm] \overline{z}| [/mm] + |z − [mm] \overline{z}| [/mm] ≦ 4} |
Hallo, die folgende Menge soll skizziert werden:
Hier mein Ansatz: z = x+iy
also |x+iy + x-iy| + | x+iy - (x-iy) | [mm] \le [/mm] 4
das ist : |2x| + | 2iy| [mm] \le [/mm] 4
jetzt betrag auflösen: [mm] \wurzel{4x^2} [/mm] + [mm] \wurzel{4y^2*i^2} \le [/mm] 4
ist dann:
= 2x - 2y [mm] \le [/mm] 4
also x - y [mm] \le [/mm] 4
ich glaube irgendwie nicht das das richtig ist,...
weil in der skizze ein Quadrat rauskommt, mit den Punkten (0/2) (0/-2) (2/0) (-2/0)
kann mir bitte jemand helfen...
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Sa 30.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Skizzieren Sie die Menge [mm] $M_2=\{z\in\IC:|z+\overline{z}|+|z-\overline{z}|\le4\}$
[/mm]
> Hallo, die folgende Menge soll skizziert werden:
>
> Hier mein Ansatz: z = x+iy
> also |x+iy + x-iy| + | x+iy - (x-iy) | [mm]\le[/mm] 4
> das ist : |2x| + | 2iy| [mm]\le[/mm] 4
> jetzt betrag auflösen: [mm]\wurzel{4x^2}[/mm] + [mm]\wurzel{4y^2*i^2} \le4[/mm]
Falsch, der Betrag einer komplexen Zahl $z=a+bi$ ist definiert als [mm] $|z|:=\sqrt{a^2+b^2}$. [/mm] Also ist [mm] $|2iy|=|0+(2y)i|=\sqrt{(2y)^2}=2|y|$. [/mm] Oder kurz: [mm] $|2iy|=|2|\cdot|y|\cdot|i|=2|y|$, [/mm] da $|i|=1$.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Sa 30.08.2008 | | Autor: | marder |
ich versteh leider immer noch nicht wie das besagte quadrat entstehen kann, gerade weil i völlig verschwindet:
ist die gleichung die ich dann habe dann
x + |y| [mm] \le [/mm] 2 ???
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Hallo marder,
> ich versteh leider immer noch nicht wie das besagte quadrat
> entstehen kann, gerade weil i völlig verschwindet:
Hmm, das hat Robert doch ausführlich geschrieben ...
Nochmal farbig, vllt. erkennst du's dann besser 
Für $z=x+iy$ ist [mm] $|z+\overline{z}|=|2x|=|\red{2x}+\blue{0}\cdot{}i|=\sqrt{\red{(2x)}^2+\blue{0}^2}=\sqrt{4x^2}=|x|$
[/mm]
Rot der Realteil, Blau der Imaginärteil (beide [mm] $\in\IR$ [/mm] !!)
Bedenke, dass für [mm] $a\in\IR$ [/mm] gilt: [mm] $\sqrt{a^2}=|a|$ [/mm] !!
Und für [mm] $|z-\overline{z}|=|2yi|=|\red{0}+\blue{2y}\cdot{}i|=\sqrt{\red{0}^2+\blue{(2y)}^2}=\sqrt{4y^2}=2|y|$
[/mm]
>
> ist die gleichung die ich dann habe dann
>
> x + |y| [mm]\le[/mm] 2 ???
Nein, siehe oben, du bekommst [mm] $2|x|+2|y|\le [/mm] 4$, also [mm] $|x|+|y|\le [/mm] 2$
Nun überlege mal, welches geometrisches Objekt das ist ...
LG
schachuzipus
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