Komplexe Zahlen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien c,d [mm] \in \mathbb{C}.
[/mm]
Zeige: [mm]c+d,c\cdot d [/mm] reell [mm] \Leftrightarrow [/mm] c,d reell oder [mm] d=\overline{c}. [/mm] |
Hallo,
also [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist reines durchrechnen und nicht besonders schwer.
Fragen habe ich nur zu [mm] "\Rightarrow".
[/mm]
Dazu:
Seien also c+d, cd reell. Dann z.z. c,d reell oder [mm] d=\overset{-}c.
[/mm]
Ich weiß ja, dass c,d an sich komplex sind. Also kann ich sie auch so schreiben: [mm] c=x_1+iy_1, d=x_2+iy_2 [/mm] mit [mm] x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb{R}. [/mm]
Ich dachte mir jetzt, dass ich einfach c+d=a setze mit [mm] a\in \mathbb{R}.
[/mm]
Das gleiche mache ich dann mit cd=b [mm] \in \mathbb{R}.
[/mm]
Wenn ich da dann c und d entsprechend mit [mm] x_1+iy_1 [/mm] usw schreibe und versuche das durchzurechnen, komme ich immer zu einem ziemlichen Durcheinander. Hatte mir das quasi so gedacht:
[mm] c+d=a\Rightarrow [/mm] d=a-c. Das setze ich dann in cd=b ein und es folgt:
[mm] c\cdot [/mm] (a-c)=b.
Aber wie gesagt: das führt mich nicht so ganz dahin, wo ich hin will.
Kann man es besser machen?
Gruß Sleeper
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Fr 15.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Seien c,d [mm]\in \mathbb{C}.[/mm]
>
> Zeige: [mm]c+d,c\cdot d[/mm] reell [mm]\Leftrightarrow[/mm] c,d reell oder
> [mm]d=\overline{c}.[/mm]
> Hallo,
>
> also [mm]"\Leftarrow"[/mm] ist reines durchrechnen und nicht
> besonders schwer.
> Fragen habe ich nur zu [mm]"\Rightarrow".[/mm]
Hallo, wenn c+d reell sein sollen, müssen sich eventuell vorhandene Imaginärteile aufheben.
Wenn c*d reel sein soll, muss [mm] r_c(cos\phi_c+i [/mm] sin [mm] \phi_c)* r_d(cos\phi_d+i [/mm] sin [mm] \phi_d) [/mm] reell sein, und damit ist das Argument [mm] \phi_c+\phi_d [/mm] Null.
Denk mal drüber nach.
Gruß Abakus
> Dazu:
> Seien also c+d, cd reell. Dann z.z. c,d reell oder
> [mm]d=\overset{-}c.[/mm]
> Ich weiß ja, dass c,d an sich komplex sind. Also kann ich
> sie auch so schreiben: [mm]c=x_1+iy_1, d=x_2+iy_2[/mm] mit
> [mm]x_1,x_2,y_1,y_2 \in \mathbb{R}.[/mm]
> Ich dachte mir jetzt, dass ich einfach c+d=a setze mit [mm]a\in \mathbb{R}.[/mm]
>
> Das gleiche mache ich dann mit cd=b [mm]\in \mathbb{R}.[/mm]
> Wenn
> ich da dann c und d entsprechend mit [mm]x_1+iy_1[/mm] usw schreibe
> und versuche das durchzurechnen, komme ich immer zu einem
> ziemlichen Durcheinander. Hatte mir das quasi so gedacht:
> [mm]c+d=a\Rightarrow[/mm] d=a-c. Das setze ich dann in cd=b ein und
> es folgt:
> [mm]c\cdot[/mm] (a-c)=b.
> Aber wie gesagt: das führt mich nicht so ganz dahin, wo
> ich hin will.
>
> Kann man es besser machen?
>
> Gruß Sleeper
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu $ [mm] "\Rightarrow". [/mm] $
Du hattest: $c = [mm] x_1+iy_1, [/mm] d = [mm] x_2 +iy_2$
[/mm]
Ist c+d reell, so folgt: [mm] $y_1+y_2 [/mm] = 0$, also [mm] $y_2 [/mm] = [mm] -y_1$: [/mm] Somit: $ [mm] d=\overline{c}. [/mm] $.
Ist auch noch [mm] y_1 [/mm] = 0, so folgt $c,d [mm] \in \IR$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
