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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 So 10.04.2005 | | Autor: | piler |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
folgende sache:
Es sei z = e^(i [mm] \bruch{3 \pi}{7})
[/mm]
Gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit der Eigenschaft [mm] z^n [/mm] = z? Falls ja, geben Sie einen
Wert f¨ur n an.
mein ansatz war natürlich [mm] z^n [/mm] = z zu setzen aber dann kommt nur 1 raus. Von diesem Aufgabentyp habe ich 2 Aufgaben mit verschiedenen Winkeln im Exponenten.
Eigentlich habe ich gedacht, dass da vielfache von 2 [mm] \pi [/mm] rauskommen müssen, da 2 [mm] \pi [/mm] ja 360 Grad sind und man dann wieder an der selben stelle ist (radius is ja gleich)
dann habe ich versucht über die polarkoordinatendarstellung etwas herauszufinden, aber da komme ich auch nicht klar.
für einen kleinen schubser in die richtige Richtrung wäre ich dankbar
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> folgende sache:
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> Es sei z = e^(i [mm]\bruch{3 \pi}{7})[/mm]
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> Gibt es ein n [mm]\in \IN[/mm] mit der Eigenschaft [mm]z^n[/mm] = z? Falls
> ja, geben Sie einen
> Wert f¨ur n an.
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> mein ansatz war natürlich [mm]z^n[/mm] = z zu setzen aber dann kommt
> nur 1 raus. Von diesem Aufgabentyp habe ich 2 Aufgaben mit
> verschiedenen Winkeln im Exponenten.
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> Eigentlich habe ich gedacht, dass da vielfache von 2 [mm]\pi[/mm]
> rauskommen müssen, da 2 [mm]\pi[/mm] ja 360 Grad sind und man dann
> wieder an der selben stelle ist (radius is ja gleich)
>
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> dann habe ich versucht über die polarkoordinatendarstellung
> etwas herauszufinden, aber da komme ich auch nicht klar.
>
> für einen kleinen schubser in die richtige Richtrung wäre
> ich dankbar
Hallo.
Also [mm] $z^n=z$ [/mm] ist schon kein schlechter Ansatz...
Bilden wir doch mal [mm] $z^n$:
[/mm]
[mm] $z=e^{\frac{3}{7}\pi} \Rightarrow z^n=e^{\frac{3n}{7}\pi}$.
[/mm]
Es gilt ja [mm] $z^n=z$, [/mm] wenn es ein [mm] $k\in\IZ$ [/mm] gibt mit
[mm] $\frac{3}{7}i\pi+k*2i\pi=\frac{3n}{7}i\pi$, [/mm] das heißt also [mm] ($*\frac{7}{3i\pi}$): [/mm]
[mm] $1+k\frac{14}{3}=n \Rightarrow [/mm] 3(n-1)=14k$. Da [mm] $n\in\IN$, [/mm] muß daher 14k mindestens mal durch 3 teilbar sein, d.h. wir können erstmal k=3j sagen. Dann ist das erste n, daß diese Gleichung erfüllt eben 15.
Dann haben wir: $n-1=14j$, und mit $n=14j+1$ hätten wir dann für [mm] $j\in\IN$ [/mm] alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] die die Gleichung [mm] $z^n=z$ [/mm] erfüllen.
Das können wir ja eben mal nachrechnen:
[mm] $z^n=e^{\frac{3n}{7}i\pi}=e^{\frac{3(14j+1)}{7}i\pi}$
[/mm]
[mm] $=e^{\frac{3*14j}{7}i\pi+\frac{3}{7}\pii}=e^{6j\pi i+\frac{3}{7}\pi i}$
[/mm]
[mm] $=e^{\frac{3}{7}\pi i}=z$.
[/mm]
Etwas formaler könnte man die Bedingung von oben auch so aufschreiben:
[mm] $\frac{3}{7}n \equiv \frac{3}{7} \pmod{2}$.
[/mm]
Hoffe, ich konnte dir weiterhelfen,
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 10.04.2005 | | Autor: | piler |
hiu, danke für die antwort, hatte auch diesen Ansatz aber bin hängengeblieben.
habe die 2. teilaufgabe nach dem selben muster lösen können (diesmal kam n=1 und sonst keine lösung heraus, aufgabe war e hoch Wurzel 2 mal i mal Pi, und da müsste k ein vielfaches von wurzel 2 sein um es herauszukürzen und n wiederum ein vielfaches von k und das geht ja nicht da n [mm] \in \IN)
[/mm]
thx :)
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