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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mo 21.02.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle z [mm] \in \IC [/mm] , für die gilt [mm] z^3 [/mm] + 8i = 0. |
Hi, also ich bin bei der Aufgabe folgendermaßen vorgegangen: ich hab 8i auf die andere Seite geholt. So der Betrag von z ist ja 8 und die dritte Wurzel daraus ist 2. Aber wie komme ich jetzt auf den Winkel? Dafür bräuchte ich mal einen Tipp^^
Danke schon mal,
Gruß David
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Hallo David,
> Bestimmen Sie alle z [mm]\in \IC[/mm] , für die gilt [mm]z^3[/mm] + 8i = 0.
> Hi, also ich bin bei der Aufgabe folgendermaßen
> vorgegangen: ich hab 8i auf die andere Seite geholt. So der
> Betrag von z ist ja 8 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Betrag von [mm]z^3[/mm] ist 8 !!
> und die dritte Wurzel daraus ist 2.
Aha, also [mm]|z_k|=2[/mm] für die 3 Lösungen [mm]z_k[/mm] ([mm]k=0,1,2[/mm])
> Aber wie komme ich jetzt auf den Winkel? Dafür bräuchte
> ich mal einen Tipp^^
Na, da gibt's zum einen Formeln, zum anderen kann man sich das doch schnell am Koordinatensystem überlegen.
Du hast [mm]z^3=-8i[/mm]
Wo liegt denn die Zahl [mm]-8i[/mm] im Koordinatensystem?
Doch auf der "unteren" imaginären Achse.
Es schließt [mm]-8i[/mm] mit der x-Achse (reellen Achse) also einen Winkel von [mm]\frac{3}{2}\pi[/mm] ein.
Prüfe das mit den einschlägigen Formeln für die Berechnung des Argumentes einer komplexen Zahl mal nach.
Nun hast du alles beisammen, um die Lösungen [mm]z_0,z_1,z_2[/mm] zu bestimmen ...
> Danke schon mal,
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:01 Do 24.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ja hab die Lösungen dann ausgerechnet. Das mit der graphischen überlegung leuchtet mir ein aber man muss es doch auch berechnen können. Also x=0 und y=-8. Kann man das nicht auch irgendwie mit dem arctan ausrechnen? Aber für x=0 finde ich nur als Lösung [mm] \pm \bruch{\pi}{2}.
[/mm]
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Hallo,
mach mal ausführlich vor, was Du überlegt und gerechnet hast, welche Formeln Du ggf. benutzt hast.
Solange wir das nicht wissen, können wir Deine Fehler schlecht aufspüren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Do 24.02.2011 | | Autor: | David90 |
Naja es gibt ja keine Fehler...bin ja auf die richtigen Lösungen gekommen hat mein Tutor gesagt...wollte nur mal wissen, ob man den Winkel nich auch berechnen kann anstatt ihn graphisch abzulesen^^
Gruß David
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Hallo nochmal,
> Naja es gibt ja keine Fehler...bin ja auf die richtigen
> Lösungen gekommen hat mein Tutor gesagt...wollte nur mal
> wissen, ob man den Winkel nich auch berechnen kann anstatt
> ihn graphisch abzulesen^^
Natürlich geht das. Schaue auf Wikipedia "komplexe Zahlen"
Dort steht ausführlich, wie man für [mm]z=x+iy[/mm] das Argument für diverse Fälle von [mm]x,y[/mm] berechnent.
Das ist eine "arctan"-Formel, u.a. mit dem Spezialfall: [mm]x=0, y<0[/mm], der einen Winkel von [mm]-\frac{\pi}{2}[/mm] ergibt (respektive [mm]\frac{3}{2}\pi[/mm],wenn man festlegt, dass die Winkel aus [mm][0,2\pi)[/mm] sein sollen ...)
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Do 24.02.2011 | | Autor: | David90 |
ja genau das mit den [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] hatte ich ja schon geschrieben...aber wie kommt man denn nun auf die [mm] \bruch{3}{2}\pi?:O
[/mm]
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Hallo,
> ja genau das mit den [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] hatte ich ja schon
> geschrieben...aber wie kommt man denn nun auf die
> [mm]\bruch{3}{2}\pi?:O[/mm]
[mm]\operatorname{mod}(2\pi)[/mm] sind die Winkel doch gleich ...
Es ist Festlegungssache, ob man die Argumente [mm]\varphi\in[-\pi,\pi)[/mm] betrachtet oder [mm]\in[0,2\pi)[/mm] (oder auch mit links offen und rechts geschlossenen Intervallen)
Da musst du schauen, wie ihr das mit dem Argument festgelegt habt ...
Gruß
schachuzipus
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> Naja es gibt ja keine Fehler
Hallo,
daran habe ich eben Zweifel, denn Du schriebst
> > > für x=0 finde ich nur als Lösung $ [mm] \pm \bruch{\pi}{2}. [/mm] $,
was ich irritierend finde.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Do 24.02.2011 | | Autor: | David90 |
achso^^ ne ne damit meinte ich nur was bei wikipedia steht, wenn man den winkel berechnen will mit dem arctan...da steht für x=0 gilt... damit meinte ich nich die lösungen, nur die winkelberechnung
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