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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 09.11.2008 | | Autor: | extasic |
| Aufgabe | Gegeben seien die komplexen Zahlen
x = -4 -3i
y = 1 + 2i
a) Wandeln Sie diese in die Polarformdarstellung um
b) Rechnen Sie x * y
c) Rechnen Sie [mm] \bruch{x}{y} [/mm] |
Hallo!
Ich soll die oben angegebene Komplexe Zahl in die Polarformdarstellung umwandeln, allerdings verstehe ich das Thema einfach nicht.
Klar ist mir grundsätzlich was die Polarformdarstellung ist. Auch wie ich |z| bilde ist mir klar:
|z| = [mm] \wurzel{25} [/mm] = 5
Nun gibt es irgendwie (nach meinen Internetrecherchen und Forumssuchen) mehrere Formen der Polardarstellung - teilweise mit dem reinen Winkel, und manchmal mit einer "e" Darstellung.
Was genau benötige ich - in Hinblick auf b) und c)?
Wie komme ich darauf?
Meine Idee wäre:
Sinus Winkel = [mm] \bruch{Imaginäranteil}{|z|} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{5} [/mm] = -0,6
Also ist der Winkel = [mm] Sin^{-1} [/mm] (-0,6) = -36,87°, oder?
In der Vorlesung wurden die Winkel immer als PI Anteil angegeben, wie kommt man darauf?
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 So 09.11.2008 | | Autor: | maniche |
HI Guck dir mal vollgendes an und versuche eine Lösung zu formulieren. Die Seite sollte alles erklären, bei Problemen kannste nochmal nachfragen.
http://www.hh.schule.de/hhs/info11-13/bio-babs/polar.htm
Für multiplikation sowie division. Wandelst du am besten in die abgekürtzte Form um:
z = BetragZ * [mm] e^{phi}
[/mm]
Ich habe noch ne Seite mit klasse Beispielen gefunden:
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/8.Komplexe%20Zahlen/8.4.S.Zahlenebene.pdf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 09.11.2008 | | Autor: | extasic |
Erst einmal Danke für Deine schnelle Antwort!
Die beiden Seiten hatte ich auch schon gefunden, allerdings verstehe ich es immer noch nicht.. Tut mir leid, aber ich stelle mich da wohl irgendwie etwas dämlich an..
Wie komme ich denn nun auf die Polarform von "-4 -3i " mit dieser "e" Schreibweise?
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Dein Ansatz ist richtig. sin (phi) = 36,...°. [mm] \pi [/mm] entspricht 180°, also phi ca. 180/36,... im Bogenmaß. Analog cos mit Realteil. Betrag r=5 ist auch richtig.
Damit: -4-3i = 5*e^(i*phi)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 09.11.2008 | | Autor: | extasic |
Danke!
Also ist das Ergebnis [mm] 5*e^{36i}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist richtig, aber
besser waere [mm] z=5*e^{i*\pi/5}
[/mm]
Wenn du [mm] 36^o [/mm] meinst darfst du NICHT 36 als Zahl schreiben, sondern wirklich das Grad dazu, sonst ist es einfach das Bogenmass und 36 entspricht dann nem winkel von [mm] 2063^o!
[/mm]
besser noch direkt im TR den Winkel in rad rechnen
[mm] 3/4=tan\phi
[/mm]
[mm] \phi=0,644 [/mm] gerundet.
Gewoen dir an, im Bogenmass zu rechnen, es ist die Masszahl der laeng des bogens auf dem Einheitskreis d.h. [mm] 360^o [/mm] entsprechen [mm] 2*\pi. [/mm] die gaengigen winkel 90,45, 60,30 sollte man im bogenmass wiedererkennen koennen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 09.11.2008 | | Autor: | extasic |
Jetzt habe ich das Grundprinzip endlich verstanden, vielen vielen Dank!!
Also habe ich
x = -4 -3i
y = 1 + 2i
x = 5 [mm] e^\frac{\pi}{5}i
[/mm]
y = [mm] \wurzel{5} e^\frac{\pi}{5}
[/mm]
NR:
|y| = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
tan [mm] \phi [/mm] = [mm] \frac{2}{1} [/mm] => phi [mm] \approx [/mm] 63,43°
(Wie meinst Du das direkt im Bogenmaß rechnen?)
Ist das nun richtig?
Und *seufz* tut mir Leid, aber wie multipliziere und dievidiere ich die beiden nun?
Vielen vielen Dank für die Mühe mit einem matheresistenten Informatiker wie mir ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. jeden Taschenrechner (oder Computer) kann man direkt in rad d.h. Bogenmass betreiben. es gibt den "mode" rad, Grad und DEG
DEG vergisst du am besten, der wird praktisch nie benutzt.
englisch sind die richtigen Angaben statt Grad deg
probier es aus!
wenn du 2 eingibst muss in einstellung rad fuer [mm] tan^{-1} [/mm] 1.1077.. rauskommen also etwas mehr als [mm] \pi/3
[/mm]
Deine Gradzahlen kannst du umrechnen mit [mm] Grad*\pi/180=rad
[/mm]
[mm] rad*180/\pi=Grad [/mm]
Die Grade sind ja nicht normale reelle Zahlen, d,h, man kann sie nicht als laengen darstellen. das Bogenmass ist aber eine art Laengenmass.
wenn du [mm] 3*e^{i*1,2}*5*e^{i*0,7} [/mm] rechnest machst du das wie sonst mit Zahlen mit Exponenten [mm] a^b*a^c=a^{b+c}
[/mm]
und [mm] A*a^b*B*a^c=A*B*a^{b+c}
[/mm]
Das Ergebnis meiner zwei oben ausgedachten Zahlen ist also
[mm] 15*e^{1.9*i}
[/mm]
Die Polardarstellung ist zum Multiplizieren, dividieren, Wurzel ziehen und potenzieren jeder anderen darstellung der kompl. Zahlen vorzuziehen. Nur beim Addieren und subtr. nimmt man die Form a+ib
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 09.11.2008 | | Autor: | extasic |
Ja, ich habe DEG, RAD und GRAD. Danke!
Gibt es denn irgend einen "einfachen" Weg, um von 1.1077 auf [mm] \pi [/mm] /3 zu schließen?
Läuft das Dividieren genauso, also wäre das Ergebnis mit Deinen Zahlen
[mm] \bruch{3\cdot{}e^{i\cdot{}1,2}}{5\cdot{}e^{i\cdot{}0,7}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{5}\cdot{}e^{i\cdot{}\bruch{1,2}{0,7}} [/mm] ?
Danke für eure Mühen!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
um von 1.1077 auf $ [mm] \pi [/mm] $ /3 zu schließen
Nein, das ist ja auch nicht [mm] \pi/3 [/mm] im allgemeinen hat man halt weder wunderschoene Winkel wie [mm] 30^o [/mm] oder [mm] \pi/6 [/mm] sondern krumme Winkel und keine einfachen Bruchteile von [mm] \pi.
[/mm]
wenn man [mm] \pi=3,14..kennt, [/mm] weiss man eben dass 1 etwas weniger als [mm] \pi/3 [/mm] und 1,1 etwas mehr ist.
zu deiner Division, die ist falsch. Du musst wissen wie man [mm] a^b/a^c [/mm] rechnet!
Division ist Umkehr!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 So 09.11.2008 | | Autor: | extasic |
nächster Versuch
[mm] \bruch{3\cdot{}e^{i\cdot{}1,2}}{5\cdot{}e^{i\cdot{}0,7}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{5} \cdot{}e^{i\cdot{}(1,2-0,7)}
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Ja!
und jetzt die dritte Wurzel aus einer der Zahlen und die 3te Potenz, dann kannst du alles.
Vorsicht! es gibt 3 dritte Wurzeln, weil [mm] e^{i\phi}=e^{i\phi+k*2\pi} [/mm] k=1,2,....
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 So 09.11.2008 | | Autor: | extasic |
wie meinst Du das? Wieso die dritte Wurzel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das war nur ne von mir gestellte Uebungsaufgabe, damit du nachpruefen kannst, ob du endgueltig kapiert hast, wie man mit komplexen Zahlen rechnet. Wenn du keine Lust hast vergiss es
Gruss leduart
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