Komplexe Zahlen in Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Exponentialfunktion kann man zu einer Funktion E: [mm] \IC\to\IC [/mm] erweitern, indem man in der definierenden Potenzreihe auch Argumente aus [mm] \IC [/mm] zulässt, also indem man:
E(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^{k} [/mm] für alle [mm] z\in\IC
[/mm]
setzt (die Potenzreihe konveriert für alle [mm] z\in\IC). [/mm] Zeigen Sie für alle [mm] x\in\IR [/mm] die folgenden Gleichungen.
(i) cosx = [mm] \bruch{1}{2}(E(ix)+E(-iX))
[/mm]
(ii) sinx = [mm] \bruch{1}{2i}(E(ix)-E(-ix)) [/mm] |
Hallo Forum,
Mein Problem ist vor allem, das ich noch sehr unsicher mit den komplexen Zahlen bin, und daher nicht so ganz genau weiß, wie ich an der einen oder anderen Stelle weiter komme. Wir haben nämlich noch nicht wirklich viel damit gerechnet und auch im Grunde nur die Formeln für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eingeführt. Ok, Soweit kann ich auch damit rechnen, das ist kein Problem. Die Vorstellung funktioniert was dieses Basiswissen angeht auch.
Aber bei unendlichen Potenzen hörts aktuell noch auf. Und die komme hier ja ins Spiel :D
Aber nun erstmal zu meinen Ansätzen:
(i)
Erstmal setze ich die Potenzreihenschreibweise ein:
[mm] =\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(ix)^{k}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(-ix)^{k})
[/mm]
Die Reihen kann ich zusammenziehen (laufen ja über dieselben Indizes):
[mm] =\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(ix)^{k}+\bruch{1}{k!}(-ix)^{k})
[/mm]
Dann klammere ich das [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] aus:
[mm] =\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}((ix)^{k}+(-ix)^{k}))
[/mm]
Jetzt fängts schon an schwierig zu werden. Erstmal kann ich ja das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] in die Reihe ziehen:
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}((ix)^{k}+(-ix)^{k})
[/mm]
Jetzt kommen wir an den Kern der Sache, an dem ich mir eben noch unsicher bin. Wie kann ich mit den 2 komplexen Zahlen an dieser Stelle verfahren. Ich addiere hier ja die kte Potenz der konjugiert komplexen Zahl zur kten Potenz der ursprünglichen Zahl hinzu. Fällt der imaginärteil dadurch auch trotz der Potenzen einfach weg? Kann ich mir nicht vorstellen. Aber die Aufgabenstellung deutet fast in diese Richtung, denn ich muss ja auf:
cosx = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}x^2k
[/mm]
kommen. Da fehlt mir wie schon oben erwähnt einfach die Vorstellungskraft, denn die Multiplikation von komplexen Zahlen ist ja schon etwas komplizierter...
Weiter komme ich bisher nicht.
(ii)
Erstmal kann ich da ja analog vorgehen, bis ich auf die folgende Form komme:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2ik)!}((ix)^{k}-(-ix)^{k})
[/mm]
Und hier weiß ich aus demselben Grunde noch nicht weiter.
Würde mich über Hilfe freuen.
mfg,
lp
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Di 09.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die Exponentialfunktion kann man zu einer Funktion E:
> [mm]\IC\to\IC[/mm] erweitern, indem man in der definierenden
> Potenzreihe auch Argumente aus [mm]\IC[/mm] zulässt, also indem
> man:
>
> E(z) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}z^{k}[/mm] für alle
> [mm]z\in\IC[/mm]
>
> setzt (die Potenzreihe konveriert für alle [mm]z\in\IC).[/mm] Zeigen
> Sie für alle [mm]x\in\IR[/mm] die folgenden Gleichungen.
> (i) cosx = [mm]\bruch{1}{2}(E(ix)+E(-iX))[/mm]
> (ii) sinx = [mm]\bruch{1}{2i}(E(ix)-E(-ix))[/mm]
> Hallo Forum,
>
> Mein Problem ist vor allem, das ich noch sehr unsicher mit
> den komplexen Zahlen bin, und daher nicht so ganz genau
> weiß, wie ich an der einen oder anderen Stelle weiter
> komme. Wir haben nämlich noch nicht wirklich viel damit
> gerechnet und auch im Grunde nur die Formeln für die
> Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
> eingeführt. Ok, Soweit kann ich auch damit rechnen, das ist
> kein Problem. Die Vorstellung funktioniert was dieses
> Basiswissen angeht auch.
> Aber bei unendlichen Potenzen hörts aktuell noch auf. Und
> die komme hier ja ins Spiel :D
>
> Aber nun erstmal zu meinen Ansätzen:
>
> (i)
> Erstmal setze ich die Potenzreihenschreibweise ein:
>
> [mm]=\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(ix)^{k}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(-ix)^{k})[/mm]
>
> Die Reihen kann ich zusammenziehen (laufen ja über
> dieselben Indizes):
>
> [mm]=\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}(ix)^{k}+\bruch{1}{k!}(-ix)^{k})[/mm]
>
> Dann klammere ich das [mm]\bruch{1}{k!}[/mm] aus:
>
> [mm]=\bruch{1}{2}(\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}((ix)^{k}+(-ix)^{k}))[/mm]
>
es ist [mm] (ix)^k [/mm] = [mm] i^kx^k. [/mm] Berechne mal [mm] i^k [/mm] für k= 0,1,2,3, .....
Fällt Dir was auf ?
> Jetzt fängts schon an schwierig zu werden. Erstmal kann ich
> ja das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] in die Reihe ziehen:
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}((ix)^{k}+(-ix)^{k})[/mm]
>
Das ist Unfug !! Lass die 2 vor der Summe !
> Jetzt kommen wir an den Kern der Sache, an dem ich mir eben
> noch unsicher bin. Wie kann ich mit den 2 komplexen Zahlen
> an dieser Stelle verfahren. Ich addiere hier ja die kte
> Potenz der konjugiert komplexen Zahl zur kten Potenz der
> ursprünglichen Zahl hinzu. Fällt der imaginärteil dadurch
> auch trotz der Potenzen einfach weg? Kann ich mir nicht
> vorstellen. Aber die Aufgabenstellung deutet fast in diese
> Richtung, denn ich muss ja auf:
>
> cosx = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}x^2k[/mm]
Das ist falsch ! Schau noch mal nach, wie die Potenzreihe von cos lautet !
FRED
>
> kommen. Da fehlt mir wie schon oben erwähnt einfach die
> Vorstellungskraft, denn die Multiplikation von komplexen
> Zahlen ist ja schon etwas komplizierter...
>
> Weiter komme ich bisher nicht.
>
> (ii)
> Erstmal kann ich da ja analog vorgehen, bis ich auf die
> folgende Form komme:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2ik)!}((ix)^{k}-(-ix)^{k})[/mm]
>
> Und hier weiß ich aus demselben Grunde noch nicht weiter.
>
> Würde mich über Hilfe freuen.
>
> mfg,
> lp
>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Fred und danke für deine Antwort.
>
> > cosx = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}x^2k[/mm]
>
>
> Das ist falsch ! Schau noch mal nach, wie die Potenzreihe
> von cos lautet !
>
Da habe ich mich nur vertippt. Das k muss natürlich mit in den Exponenten ;)
> es ist [mm](ix)^k[/mm] = [mm]i^kx^k.[/mm] Berechne mal [mm]i^k[/mm] für k= 0,1,2,3,
> .....
>
> Fällt Dir was auf ?
[mm] i^{0} [/mm] = 1
[mm] i^{1} [/mm] = i
[mm] i^{2} [/mm] = -1
[mm] i^{3} [/mm] = (-i)
[mm] i^{4} [/mm] = [mm] i^{2} [/mm] * [mm] i^{2} [/mm] = (-1) * (-1) = 1
und ab da immer abwechselnd -i und 1, richtig?
Das hieße ja, jedes für k gerade ist (ix + (-ix)) = 0 und für k ungerade ist [mm] ((ix)^{k} [/mm] + [mm] (-ix)^{k} [/mm] = [mm] (i(x)^{k} [/mm] + [mm] i(x)^{k}) [/mm] = [mm] 2i(x)^{k}?
[/mm]
mfg,
lp
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Hallo lichtpeter,
> Hallo Fred und danke für deine Antwort.
>
> >
> > > cosx = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}x^2k[/mm]
> >
> >
> > Das ist falsch ! Schau noch mal nach, wie die Potenzreihe
> > von cos lautet !
> >
>
> Da habe ich mich nur vertippt. Das k muss natürlich mit in
> den Exponenten ;)
>
> > es ist [mm](ix)^k[/mm] = [mm]i^kx^k.[/mm] Berechne mal [mm]i^k[/mm] für k= 0,1,2,3,
> > .....
> >
> > Fällt Dir was auf ?
>
> [mm]i^{0}[/mm] = 1
> [mm]i^{1}[/mm] = i
> [mm]i^{2}[/mm] = -1
> [mm]i^{3}[/mm] = (-i)
> [mm]i^{4}[/mm] = [mm]i^{2}[/mm] * [mm]i^{2}[/mm] = (-1) * (-1) = 1
>
> und ab da immer abwechselnd -i und 1, richtig?
Nein, allgemein gilt:
[mm]i^{4k}=1[/mm]
[mm]i^{4k+1}=i[/mm]
[mm]i^{4k+2}=-1[/mm]
[mm]i^{4k+3}=-i[/mm]
für alle [mm]k \in \IZ[/mm]
> Das hieße ja, jedes für k gerade ist (ix + (-ix)) = 0 und
> für k ungerade ist [mm]((ix)^{k}[/mm] + [mm](-ix)^{k}[/mm] = [mm](i(x)^{k}[/mm] +
> [mm]i(x)^{k})[/mm] = [mm]2i(x)^{k}?[/mm]
>
> mfg,
> lp
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower,
Danke auch dir für deine schnelle Antwort (ihr seid super!)
Das ganze verwirrt mich immer mehr.
Das hieße doch, das meine Reihe so aussähe:
[mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}
[/mm]
Denn der Rest würde sich doch dann immer gegenseitig auslöschen:
[mm] i^{4k}=1 \Rightarrow ((ix)^{k}+(-ix)^{k}) [/mm] = [mm] x^{k}-x^{k} [/mm] = 0
[mm] i^{4k+1}=i \Rightarrow ((ix)^{k}+(-ix)^{k}) [/mm] = [mm] i*x^{k}-i*x^{k} [/mm] = 0
[mm] i^{4k+2}=-1 \Rightarrow ((ix)^{k}+(-ix)^{k}) [/mm] = [mm] (-1)(x)^{k}+(x)^{k} [/mm] = 0
[mm] i^{4k+3}=-i \Rightarrow ((ix)^{k}+(-ix)^{k}) [/mm] = [mm] (-i)*x^{k}+i*x^{k} [/mm] = 0
Aber so würde ich ja nie im leben zum cosinus von x kommen, da ich überhaupt kein x mehr hätte :D
Wo ist in meiner Überlegung der Fehler?
mfg,
lp
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Hallo lichtpeter,
> Hallo Mathepower,
>
> Danke auch dir für deine schnelle Antwort (ihr seid super!)
> Das ganze verwirrt mich immer mehr.
> Das hieße doch, das meine Reihe so aussähe:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm]
>
> Denn der Rest würde sich doch dann immer gegenseitig
> auslöschen:
>
> [mm]i^{4k}=1 \Rightarrow ((ix)^{k}+(-ix)^{k})[/mm] = [mm]x^{k}-x^{k}[/mm] =
> 0
> [mm]i^{4k+1}=i \Rightarrow ((ix)^{k}+(-ix)^{k})[/mm] =
> [mm]i*x^{k}-i*x^{k}[/mm] = 0
> [mm]i^{4k+2}=-1 \Rightarrow ((ix)^{k}+(-ix)^{k})[/mm] =
> [mm](-1)(x)^{k}+(x)^{k}[/mm] = 0
> [mm]i^{4k+3}=-i \Rightarrow ((ix)^{k}+(-ix)^{k})[/mm] =
> [mm](-i)*x^{k}+i*x^{k}[/mm] = 0
>
> Aber so würde ich ja nie im leben zum cosinus von x kommen,
> da ich überhaupt kein x mehr hätte :D
>
> Wo ist in meiner Überlegung der Fehler?
Der Fehler ist der, daß Du [mm]\left(-1\right)^{k}=-1[/mm] gesetzt hast.
Dies ist jedoch nur für ungerade k richtig.
>
> mfg,
> lp
Gruß
MathePower
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Gut.
Dann ist der term also immer null, außer für [mm] i^{4k+2}, [/mm] da das stets gerade ist.
Also habe ich für jedes 4. k [mm] x^{2k} [/mm] heraus, was ja zum cosinus gut passt. Für den Rest der k ist der Summenwert jeweils null. Muss ich die jetzt noch irgendwie rausziehen? oder ist das egal, wenn k gegen [mm] \infty [/mm] geht? (Ich erinnere mich an Folgen, wo es ja im Grunde kein Problem ist, wenn man endlich viele Nullglieder in der Folge hat, der Wert / die Konvergenz wird nicht verändert. Das einzige was sich verändert, ist Wert für ein k < [mm] \infty). [/mm] Falls doch: wie könnte ich das angehen?
mfg,
lp
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Hallo lichtpeter,
> Gut.
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> Dann ist der term also immer null, außer für [mm]i^{4k+2},[/mm] da
> das stets gerade ist.
Was ist mit [mm]i^{4k}[/mm] ?
>
> Also habe ich für jedes 4. k [mm]x^{2k}[/mm] heraus, was ja zum
> cosinus gut passt. Für den Rest der k ist der Summenwert
> jeweils null. Muss ich die jetzt noch irgendwie rausziehen?
> oder ist das egal, wenn k gegen [mm]\infty[/mm] geht? (Ich erinnere
> mich an Folgen, wo es ja im Grunde kein Problem ist, wenn
> man endlich viele Nullglieder in der Folge hat, der Wert /
> die Konvergenz wird nicht verändert. Das einzige was sich
> verändert, ist Wert für ein k < [mm]\infty).[/mm] Falls doch: wie
> könnte ich das angehen?
Ziel ist ja die eine Reihendarstellung des Cosinus zu bekommen.
>
> mfg,
> lp
Gruß
MathePower
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> Was ist mit [mm]i^{4k}[/mm] ?
Du hast natürlich recht. Das hab ich vergessen:
Das ist [mm] (x)^{k}+(-x)^{k}=2(x)^{k}
[/mm]
Also haben wir 2 von 4 fällen, in denen das ergebnis 0 ist und 2 von 4 Fällen, in denen die Reihe so aussieht:
[mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}2x^{k}
[/mm]
> Ziel ist ja die eine Reihendarstellung des Cosinus zu
> bekommen.
Das ist mir klar. Darum gehts hier ja :o)
Typische Nachtidee (warum denke ich eigentlich nachts effektiver als Tagsüber, hab ich noch nie verstanden):
[mm] \bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}((ix)+(-ix))^{k}
[/mm]
hat ja, wie wir herausgefunden haben genau für k gerade, also 2k die oben stehende Form. Also ist das doch
[mm] =\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}2x^{2k}
[/mm]
Jetzt kann ich den Bruch endlich hineinziehen:
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}x^{2k} [/mm] = cosx
fertig. Richtig?
mfg,
lp
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Was ist mit [mm]i^{4k}[/mm] ?
>
> Du hast natürlich recht. Das hab ich vergessen:
> Das ist [mm](x)^{k}+(-x)^{k}=2(x)^{k}[/mm]
>
> Also haben wir 2 von 4 fällen, in denen das ergebnis 0 ist
> und 2 von 4 Fällen, in denen die Reihe so aussieht:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}2x^{k}[/mm]
>
> > Ziel ist ja die eine Reihendarstellung des Cosinus zu
> > bekommen.
>
> Das ist mir klar. Darum gehts hier ja :o)
>
> Typische Nachtidee (warum denke ich eigentlich nachts
> effektiver als Tagsüber, hab ich noch nie verstanden):
>
> [mm]\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}((ix)+(-ix))^{k}[/mm]
>
> hat ja, wie wir herausgefunden haben genau für k gerade,
> also 2k die oben stehende Form. Also ist das doch
>
> [mm]=\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}2x^{2k}[/mm]
>
> Jetzt kann ich den Bruch endlich hineinziehen:
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{(2k)!}x^{2k}[/mm] = cosx
>
Das ist nicht der Cosinus !!!! Schau doch endlich mal nach.
FRED
> fertig. Richtig?
>
> mfg,
> lp
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> Das ist nicht der Cosinus !!!! Schau doch endlich mal
> nach.
>
> FRED
Ach herrje, du hast recht. Hatte beim letzten mal, also du mich drauf hingewiesen hast, gerade über was anderes nachgedacht und dann nur das k gesehen. Jetzt ists mir auch so wieder eingefallen:
cosx = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}
[/mm]
Das wirft mich natürlich jetzt wieder ein stück zurück. Da komme ich ja so noch nicht hin. Werde da mal im laufe des Tages drüber nachdenken. Falls noch jemand nen Tipp für mich hat, würde mich das natürlich freuen. :)
mfg,
lp
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Das ist nicht der Cosinus !!!! Schau doch endlich mal
> > nach.
> >
> > FRED
>
> Ach herrje, du hast recht. Hatte beim letzten mal, also du
> mich drauf hingewiesen hast, gerade über was anderes
> nachgedacht und dann nur das k gesehen. Jetzt ists mir auch
> so wieder eingefallen:
>
> cosx = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}[/mm]
>
> Das wirft mich natürlich jetzt wieder ein stück zurück. Da
> komme ich ja so noch nicht hin. Werde da mal im laufe des
> Tages drüber nachdenken. Falls noch jemand nen Tipp für
> mich hat, würde mich das natürlich freuen. :)
ich gebe Dir mal generell einen Tipp, wie Du selbst Deine Rechnungen überprüfen kannst (was gerade anfangs, wenn man noch wenig im Umgang mit der Summenschreibweise bzw. mit Reihen ungeübt ist, hilfreich sein kann):
Nimm' Dir einfach mal einen Schmierzettel und schreib' es dort so auf:
Wir berechnen mal $E(ix)+E(-ix)$ (dann sollte [mm] $2\cos(x)$ [/mm] rauskommen!).
[mm] $$E(ix)+E(-ix)=1+\frac{ix}{1}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac{(ix)^7}{7!}+\frac{(ix)^8}{8!}+...$$
[/mm]
[mm] $$+\left\{1+\frac{(-ix)^1}{1!}+\frac{(-ix)^2}{2!}+\frac{(-ix)^3}{3!}+\frac{(-ix)^4}{4!}+\frac{(-ix)^5}{5!}+\frac{(-ix)^6}{6!}+\frac{(-ix)^7}{7!}+\frac{(-ix)^8}{8!}+...\right\}$$
[/mm]
[mm] $$=\blue{1}+\frac{ix}{1}+\green{\frac{-x^2}{2!}}+\frac{ix^3}{3!}+\blue{\frac{x^4}{4!}}+\frac{ix^5}{5!}+\green{\frac{-x^6}{6!}}+\frac{-ix^7}{7!}+\blue{\frac{x^8}{8!}}+...+\left\{\blue{1}+\frac{-ix}{1!}+\green{\frac{-x^2}{2!}}+\frac{-ix^3}{3!}+\blue{\frac{x^4}{4!}}+\frac{-ix^5}{5!}+\green{\frac{-x^6}{6!}}+\frac{ix^7}{7!}+\blue{\frac{x^8}{8!}}+...\right\}$$
[/mm]
Nun fasse jeweils die blauen und grünen Terme zusammen, alles andere hebt sich weg (beachte dabei, dass $E(ix)$ und $E(-ix)$ beide konvergieren)...
Oder, wenn Du so beginnst (wieder beachte, dass die beiden Reihen $E(ix)$ und $E(-ix)$ (für jedes $x [mm] \in \IC$) [/mm] (sogar absolut) konvergieren):
[mm] $$E(ix)+E(-ix)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(ix)^k+(-ix)^k}{k!}\,.$$
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] $$(ix)^k+(-ix)^k=\underbrace{(1+(-1)^k)}_{\substack{=0,\;\;k\;ungerade\\=2,\;k\;gerade}}(ix)^k=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \\ 2(ix)^k, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Damit:
[mm] $$E(ix)+E(-ix)=\sum\limits_{\substack{k=0\\k\;gerade}}^\infty \frac{2(ix)^k}{k!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{2(ix)^{2n}}{(2n)!}=2*\sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}\,.$$
[/mm]
Beachtest Du nun noch, dass [mm] $(ix)^{2n}=i^{2n}x^{2n}=(i^2)^nx^{2n}$, [/mm] so hat sich das Problem darauf reduziert, [mm] $(i^2)^n$ [/mm] noch etwas umzuschreiben. Und was das ist, sollte nun wirklich erkennbar sein 
Gruß,
Marcel
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