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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen umschreiben
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Komplexe Zahlen umschreiben: stimmt das so?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Do 21.11.2013
Autor: Alex1993

Ich habe heute frei und wollte daher das umschreiben der Komplexen Zahlen in die Form a+ib üben
folgende Beispiele habe ich mir rausgesucht:
a) [mm] \left( \bruch{2+i}{2-1} \right) [/mm]
meine Lösung:
[mm] \left( \bruch{3}{5} \right) [/mm] + [mm] \left( \bruch{2}{5} \right) [/mm] * i

b) [mm] \left( \bruch{1+i}{1-i} \right)^2 [/mm]

meine Lösung:
-1

c) [mm] (3+2i)^3 [/mm]
meine Lösung:
22i + 27

d) [mm] i^k [/mm] für k=1,2,3,4
[mm] i^1 [/mm] = i
[mm] i^2 [/mm] = -1
[mm] i^3 [/mm] = -1*i
[mm] i^4= [/mm]  1




stimmen alle Lösungen oder habt ihr Verbesserungsvorschläge?

        
Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Do 21.11.2013
Autor: Loddar

Hallo Alex!


> a) [mm]\left( \bruch{2+i}{2-1} \right)[/mm]

Ich denke mal, Du meinst im Nenner [mm] $2-\red{i}$ [/mm] .

> meine Lösung: [mm]\left( \bruch{3}{5} \right)[/mm] + [mm]\left( \bruch{2}{5} \right)[/mm] * i

Dann stimmt Deine Lösung. [ok]


> b) [mm]\left( \bruch{1+i}{1-i} \right)^2[/mm]
> meine Lösung:   -1

[ok] Ich hatte erst das Quadrat um die Klammer übersehen.
Verwende hier im Forum ^2 !


> c) [mm] (3+2i)^3 [/mm]
> meine Lösung:   22i + 27

[notok]


> d) [mm]i^k[/mm] für k=1,2,3,4
> [mm]i^1[/mm] = i
> [mm]i^2[/mm] = -1
> [mm]i^3[/mm] = -1*i
> [mm]i^4=[/mm] 1

[ok]


> stimmen alle Lösungen oder habt ihr
> Verbesserungsvorschläge?

Um Verbesserungsvorschläge machen zu können, müssten wir Deine Rechnungen kennen.


Gruß
Loddar
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Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 Do 21.11.2013
Autor: Alex1993

danke
aber wieso stimmt die c) nicht? ich habe gerechnet:
(3+2i)² *(3+2i)= 30i + [mm] 20i^2 [/mm] + [mm] 8i^3 [/mm] +27
= 30i -20 -8i +27
=22i +7

stimmt das nun?

viele Liebe Grüße!
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Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Do 21.11.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> danke
> aber wieso stimmt die c) nicht? ich habe gerechnet:
> (3+2i)² *(3+2i)= 30i + [mm]20i^2[/mm] + [mm]8i^3[/mm] +27
> = 30i -20 -8i +27
> =22i +7

>
> stimmt das nun?

>
> viele Liebe Grüße!

[mm] (3+2i)^3 [/mm]
[mm] =(3+2i)^2\cdot(3+2i) [/mm]
[mm] =(9+12i+4i^2)\cdot(3+2i) [/mm]
[mm] =(12i-5)\cdot(3+2i) [/mm]
[mm] =\ldots [/mm]

Marius
Bezug
                                
Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Do 21.11.2013
Autor: Alex1993

also 26i-39?
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Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Do 21.11.2013
Autor: M.Rex


> also 26i-39?

Das sieht besser aus.

Das hättest du auch mit dem binomischen Lehrsatz errechnen können.


$ [mm] (a+b)^n=\summe_{i=0}^{n}{n\choose i}\cdot a^{i}\cdot b^{n-i} [/mm] $ mit a=3, b=2i und n=3


MfG
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Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Do 21.11.2013
Autor: Loddar

Hallo Alex!


> also 26i-39?

[notok] In Marius' Antwort hatte sich leider ein Rechenfehler eingeschlichen (den Du auch kritiklos ohne nachzurechnen übernommen hast).

Daher stimmt dieses Ergebnis nicht.


Gruß
Loddar
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Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Do 21.11.2013
Autor: Alex1993

dann habe ich jetzt daraus gelernt und werde in Zukunft nicht alles kritiklos hinnehmen:
also :
(12i+5)(3+2i)
= 36i + 24i² + 15 + 10i
=36i - 9
stimmt das so?

und wo lag jetzt der Hefler in meiner Rechnung?

hier
(3+2i)² *(3+2i)= 30i + [mm] 20i^2 [/mm]  + [mm] 8i^3 [/mm]  +27
= 30i -20 -8i +27
=22i +7
Bezug
                                                        
Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: immer noch falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Do 21.11.2013
Autor: Loddar

Hallo Alex!


> (12i+5)(3+2i)
> = 36i + 24i² + 15 + 10i

[ok] Bis hierher richtig.


> =36i - 9

[notok] Aber was rechnest Du hier und warum?
Du musst doch noch $36i_$ und $10i_$ zusammenfassen.


> und wo lag jetzt der Hefler in meiner Rechnung?

>
> hier
> (3+2i)² *(3+2i)= 30i + [mm]20i^2[/mm] + [mm]8i^3[/mm] +27

[notok] Wie kommst Du auf diese Terme hinter dem Gleichheitszeichen, insbesondere die ersten beiden?

Es gilt:  [mm] $(a+b)^3 [/mm] \ = \ [mm] a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3$ [/mm]


Gruß
Loddar
Bezug
                                                                
Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Do 21.11.2013
Autor: Alex1993


> Hallo Alex!
>  
>
> > (12i+5)(3+2i)
>  > = 36i + 24i² + 15 + 10i

>  
> [ok] Bis hierher richtig.
>  
>
> > =36i - 9
>  
> [notok] Aber was rechnest Du hier und warum?
>  Du musst doch noch [mm]36i_[/mm] und [mm]10i_[/mm] zusammenfassen.

ups, das war ein Tippfehler: ich meinte natürlich 46i-9
>  
>
> > und wo lag jetzt der Hefler in meiner Rechnung?
>  >
>  > hier

>  > (3+2i)² *(3+2i)= 30i + [mm]20i^2[/mm] + [mm]8i^3[/mm] +27

>  
> [notok] Wie kommst Du auf diese Terme hinter dem
> Gleichheitszeichen, insbesondere die ersten beiden?

wegen:
[mm] (3+2i)^2 [/mm] * (3+2i)
= (9+4i+4i²) (3+2i)
27+12i+12i²+18i+8i²+8i³
=30i+20i²+8i³+27
=30i-20-8i+27
=22i+7

wo liegt der Fehler?

>  
> Es gilt:  [mm](a+b)^3 \ = \ a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3[/mm]
>  
>
> Gruß
>  Loddar

Bezug
                                                                        
Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Do 21.11.2013
Autor: M.Rex

Hallo


> > Hallo Alex!
> >
> >
> > > (12i+5)(3+2i)
> > > = 36i + 24i² + 15 + 10i
> >
> > [ok] Bis hierher richtig.
> >
> >
> > > =36i - 9
> >
> > [notok] Aber was rechnest Du hier und warum?
> > Du musst doch noch [mm]36i_[/mm] und [mm]10i_[/mm] zusammenfassen.

>
> ups, das war ein Tippfehler: ich meinte natürlich 46i-9

Das stimmt.

> >
> >
> > > und wo lag jetzt der Hefler in meiner Rechnung?
> > >
> > > hier
> > > (3+2i)² *(3+2i)= 30i + [mm]20i^2[/mm] + [mm]8i^3[/mm] +27
> >
> > [notok] Wie kommst Du auf diese Terme hinter dem
> > Gleichheitszeichen, insbesondere die ersten beiden?
> wegen:
> [mm](3+2i)^2[/mm] * (3+2i)
> = (9+4i+4i²) (3+2i)

Fasse doch hier zusammen [mm] 9+4i^{2}=5 [/mm]

> 27+12i+12i²+18i+8i²+8i³
> =30i+20i²+8i³+27
> =30i-20-8i+27
> =22i+7

>
> wo liegt der Fehler?

>
> >
> > Es gilt:  [mm](a+b)^3 \ = \ a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3[/mm]
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar

>

Marius
Bezug
                                                                        
Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: binomische Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Do 21.11.2013
Autor: Loddar

Hallo Alex!


> [mm](3+2i)^2[/mm] * (3+2i)
> = (9+4i+4i²) (3+2i)

[notok] Gemäß binomischer Formel muss es in der ersten Klammer heißen:

[mm] $(3+2i)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[3^2+2*3*2i+(2i)^2\right] [/mm] \ = \ [mm] \left(9+\red{12}i+4i^2\right)$ [/mm]

Dieses Ergebnis dieser Klammer hatten wir doch bereits hier geklärt.


Gruß
Loddar
Bezug
                                
Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Rechenfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Do 21.11.2013
Autor: Loddar

Hallo Marius!


Da hat sich leider ein Rechenfehler eingeschlichen.

Es gilt: [mm] $(3+2i)^2 [/mm] \ = \ 12i \ [mm] \red{+} [/mm] \ 5 \ = \ 5+12i$


Gruß
Loddar
Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Zahlen umschreiben: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:07 Do 21.11.2013
Autor: M.Rex


> Hallo Marius!

Hallo Loddar

>
>
> Da hat sich leider ein Rechenfehler eingeschlichen.

>
> Es gilt: [mm](3+2i)^2 \ = \ 12i \ \red{+} \ 5 \ = \ 5+12i[/mm]

[pfeif]

Du hast natürlich recht.



>
>
> Gruß
> Loddar

Marius
Bezug
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