Komplexe e-F Riemann Summe < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige dass [mm]\forall \alpha\in C \backslash\{0\}\qquad\integral_{a}^{b}{e^{\alpha x} dx}=\frac{e^{\alpha b}-e^{\alpha a}}{\alpha}[/mm]
Und zwar soll der Beweis mithilfe von Riemann-Summen geführt werden. |
Hallo!
Eigentlich habe ich schon einen Ansatz mithilfe der komplexen e-Reihe, aber da wir die e-Reihe nur im reelen gemacht haben frage ich mich ob ich das darf, oder ob es noch eine Möglichkeit ohne komplexe e-Reihe gibt. Ich bitte euch, mir das Überlegen nicht abzunehmen, sondern mir nur zu sagen ob es diese gibt, damit ich nicht umsonst nach ihr suche.
Danke im Voraus!
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit der reellen Exponentialfunktion kommst Du aus !
FRED
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Ok. danke!
Ich habe den Integraden in Real und Imaginärteil aufgespalten, habe aber keine Ahnung, wie ich dann z.B. eine Formel für:
[mm]\summe_{k=1}^{n}{e^{(\Delta xk+a)\alpha}*cos(\beta(\Delta x k+a))} [/mm][mm] (\alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] stehen hier für Real und Imaginärteil)bekomme, bei der ich dann [mm]\Delta x->0[/mm] laufen lassen kann. Wir machen übrigens zuerst Integralrechnung, dann Differenzialrechnung also habe ich keine Ahnung von Taylor-Entwicklung.
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angelika,
in meiner Antwort oben habe ich mich vertan, ich habe übersehen, dass [mm] \alpha \in \IC [/mm] sein darf. Macht aber nichts. Das ganze geht einfacher als Du denkst:
Wähle n [mm] \in \IN [/mm] und zu diesem n die äquidistante Zerlegung von [a,b] mit n Teilpunkten.
Dann ist
[mm] $\integral_{a}^{b}{e^{\alpha x} dx}= \limes_{n\rightarrow\infty}h\summe_{k=0}^{n-1}e^{\alpha(a+ h k)}= \limes_{n\rightarrow\infty}h e^{\alpha h}\summe_{k=0}^{n-1}e^{\alpha h k}$,
[/mm]
wobei $h = [mm] \bruch{b-a}{n}$.
[/mm]
Jetzt mach Du mal weiter und denke an die geometrische Reihe ( [mm] $e^{\alpha h k}= (e^{\alpha h})^k$, [/mm] n kann so groß gewählt werden, dass [mm] $e^{\alpha h} \not=1$).
[/mm]
FRED
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