Komplexe exponentialfkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Funktionen f: [mm] \IC \to \IC [/mm] die der Funktionsgleichung
f(z+w) = f(z)f(w) [mm] \forall [/mm] z,w [mm] \in \IC [/mm]
genügen. |
Hi, habe ein kleines Problem bei dieser Aufgabe, denke ja, dass das ergebnis exp(z) sein wird, mit z [mm] \in \IC [/mm] oder??
jetzt habe ich gesehen, wie man man exp(z+w)=exp(z)exp(w) zeigen könnte, aber ich weiß nicht, wie ich dann zeigen könnte, dass das die zeige funktion ist, kann mir da vielleicht wer helfen?
grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Di 17.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle Funktionen f: [mm]\IC \to \IC[/mm] die der
> Funktionsgleichung
>
> f(z+w) = f(z)f(w) [mm]\forall[/mm] z,w [mm]\in \IC[/mm]
>
> genügen.
> Hi, habe ein kleines Problem bei dieser Aufgabe, denke ja,
> dass das ergebnis exp(z) sein wird, mit z [mm]\in \IC[/mm] oder??
>
> jetzt habe ich gesehen, wie man man exp(z+w)=exp(z)exp(w)
> zeigen könnte, aber ich weiß nicht, wie ich dann zeigen
> könnte, dass das die zeige funktion ist, kann mir da
> vielleicht wer helfen?
>
> grüße
Ist sonst nichts weiter an Eigenschaften von f vorausgesetzt ? Steigkeit ? Holomorphie ??
Schau noch mal nach .
FRED
|
|
|
| |
|
Hi, danke erstmal.
Also da steht nur, die dass f vollständig sein soll. Kann man daraus auch die differenzierbarkeit schließen? Aber dein Ergebnis ist richtig, das wurde uns auch so gesagt. Dachte nur, man es vielleicht halt auch über exp(z+w)=exp(z)exp(w) lösen und dann die eindeutigkeit nur zeigen??
Und dann nochmal paar fragen zu deiner lösung:
kann ich "also f(0) = 0 oder f(0) =1" einfach sagen?? Ich kann ja auch nicht einfach f(2) oder f(3) einsetzen.
und dann hier auch nochmal:
Beweis: $ [mm] \bruch{f(z+h)-f(z)}{h} [/mm] $ = f(z) $ [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h-0} [/mm] $ ---> f(z)f'(0) für h--> 0
D.h. : f ist auf $ [mm] \IC [/mm] $ komplex differenzierbar und f'(z) = cf(z), wobei c : = f'(0)
soll das hier = f(z) [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h-0} [/mm] vielleicht nicht [mm] f'(z)=\bruch{f(h)-f(0)}{h-0} [/mm] heißen??? und da versteh ich gerade nicht, wie man dann auf f(z)f'(0) für h--> 0 kommen kann?
bis hier hin erstmal.
grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi, danke erstmal.
>
> Also da steht nur, die dass f vollständig sein soll. Kann
> man daraus auch die differenzierbarkeit schließen? Aber
> dein Ergebnis ist richtig, das wurde uns auch so gesagt.
Was soll das sein: " f vollständig" ?? Steht da vielleicht " f ganz" oder "f sei eine ganze Funktion" ?
> Dachte nur, man es vielleicht halt auch über
> exp(z+w)=exp(z)exp(w) lösen und dann die eindeutigkeit nur
> zeigen??
>
>
> Und dann nochmal paar fragen zu deiner lösung:
>
> kann ich "also f(0) = 0 oder f(0) =1" einfach sagen?? Ich
> kann ja auch nicht einfach f(2) oder f(3) einsetzen.
Es ist doch f(0) = f(0+0) = f(0)f(0) = [mm] f(0)^2. [/mm] Setze z =f(0).
Dann: z = [mm] z^2
[/mm]
welche Lösungen hat die se Gleichung ?????
>
> und dann hier auch nochmal:
>
> Beweis: [mm]\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}[/mm] = f(z)
> [mm]\bruch{f(h)-f(0)}{h-0}[/mm] ---> f(z)f'(0) für h--> 0
>
> D.h. : f ist auf [mm]\IC[/mm] komplex differenzierbar und f'(z) =
> cf(z), wobei c : = f'(0)
>
>
> soll das hier = f(z) [mm]\bruch{f(h)-f(0)}{h-0}[/mm] vielleicht
> nicht [mm]f'(z)=\bruch{f(h)-f(0)}{h-0}[/mm] heißen??? und da versteh
> ich gerade nicht, wie man dann auf f(z)f'(0) für h--> 0
> kommen kann?
[mm]\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}[/mm] = [mm] \bruch{f(z)f(h)-f(z)}{h}= [/mm] f(z) [mm]\bruch{f(h)-1}{h-0}[/mm] = f(z) [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h-0}---> [/mm] f(z)f'(0) für h--> 0, da
[mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h-0} [/mm] für h gegen 0 gegen f'(0) konv.
FRED
>
> bis hier hin erstmal.
>
> grüße
|
|
|
| |
|
Hi FRED, du hast natürlich recht, das ganze kann man auch mit ganze Funktion übersetzen. Die sache war, dass die aufgabe auf spanisch war, deswegen wusste ich die übersetzen, aber das wort kann auch ganz bedeuten  .
ok, soweit habe ich den rest auch verstanden. und deine andere frage da, natürlich muss f diff.bar sein in 0, sonst könnte man den diff.qut. ja nicht angeben, um auf f' zu kommen.
So jetzt nochmal eine kleine andere frage, zum zweiten teil der aufgabe:
Bestimmen sie eine stetige funktion [mm] f:\IC \to \IC, [/mm] die f(z+w)=f(z)f(w) erfüllt, aber nicht ganz ist?? Was könnte das für ne funktion sein???
kannst du mir vielleicht dabei auch nochmal helfen??
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi FRED, du hast natürlich recht, das ganze kann man auch
> mit ganze Funktion übersetzen. Die sache war, dass die
> aufgabe auf spanisch war, deswegen wusste ich die
> übersetzen, aber das wort kann auch ganz bedeuten .
>
> ok, soweit habe ich den rest auch verstanden. und deine
> andere frage da, natürlich muss f diff.bar sein in 0, sonst
> könnte man den diff.qut. ja nicht angeben, um auf f' zu
> kommen.
Ja was jetzt ?? Eine ganze Funktion ist eine Funktion die in jedem Punkt von [mm] \IC [/mm] komplex differenzierbar ist.
>
> So jetzt nochmal eine kleine andere frage, zum zweiten teil
> der aufgabe:
>
>
>
> Bestimmen sie eine stetige funktion [mm]f:\IC \to \IC,[/mm] die
> f(z+w)=f(z)f(w) erfüllt, aber nicht ganz ist?? Was könnte
> das für ne funktion sein???
Da muß ich noch mal nachdenken
FRED
>
> kannst du mir vielleicht dabei auch nochmal helfen??
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mi 18.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Ja, da seht das f eine ganze Funktion sein soll.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Mi 18.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi FRED, du hast natürlich recht, das ganze kann man auch
> mit ganze Funktion übersetzen. Die sache war, dass die
> aufgabe auf spanisch war, deswegen wusste ich die
> übersetzen, aber das wort kann auch ganz bedeuten .
>
> ok, soweit habe ich den rest auch verstanden. und deine
> andere frage da, natürlich muss f diff.bar sein in 0, sonst
> könnte man den diff.qut. ja nicht angeben, um auf f' zu
> kommen.
>
> So jetzt nochmal eine kleine andere frage, zum zweiten teil
> der aufgabe:
>
>
>
> Bestimmen sie eine stetige funktion [mm]f:\IC \to \IC,[/mm] die
> f(z+w)=f(z)f(w) erfüllt, aber nicht ganz ist?? Was könnte
> das für ne funktion sein???
Deine Frage ist alles andere als "klein"
Eine Antwort darauf findest Du in folgendem Buch
Aczel, Dhombres: Functional equations in several variables, Seite 56, Theorem 5
Viel "Spaß" beim durchkämpfen !
FRED
>
> kannst du mir vielleicht dabei auch nochmal helfen??
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> So jetzt nochmal eine kleine andere frage, zum zweiten teil
> der aufgabe:
>
>
>
> Bestimmen sie eine stetige funktion [mm]f:\IC \to \IC,[/mm] die
> f(z+w)=f(z)f(w) erfüllt, aber nicht ganz ist?? Was könnte
> das für ne funktion sein???
>
> kannst du mir vielleicht dabei auch nochmal helfen??
Z.B.:
$f(z) = [mm] e^{c \overline{z}}$ [/mm] mit $c [mm] \in \IC$
[/mm]
FRED
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Fr 20.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Vielen danke.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 17.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist f(0) = f(0+0) = [mm] f(0)^2, [/mm] also f(0) = 0 oder f(0) =1
Fall1 : f(0) = 0 . Dann : f(z) = f(z+0) = f(z)f(0) = 0 für jedes z
Fall2: f(0) =1
Wenn man voraussetzt, dass f in 0 komplex differenzierbar ist, so gibt es ein c [mm] \in \IC [/mm] mit:
f(z) = [mm] e^{cz}
[/mm]
Beweis: [mm] \bruch{f(z+h)-f(z)}{h} [/mm] = f(z) [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h-0} [/mm] ---> f(z)f'(0) für h--> 0
D.h. : f ist auf [mm] \IC [/mm] komplex differenzierbar und f'(z) = cf(z), wobei c : = f'(0)
Setze g(z) = [mm] \bruch{f(z)}{e^{cz}} [/mm] und man überzeuge sich davo, dass g'(z) = 0 ist für jedes z.
g ist somit konstant, also ex. ein C mit:
f(z) = [mm] Ce^{cz}.
[/mm]
Wegen 1 = f(0) ist C = 1
FRED
P.S: Frage: kommt man zu Lösungen ohne die Vor. der Differenzierbarkeit in 0 ?
|
|
|
| |
|
Hi, ich muss zu dieser Aufgabe doch nochmal paar fragen stellen, weil mir gerade aufgefallen ist, dass ich doch nicht alles verstanden habe:
> D.h. : f ist auf [mm] \IC [/mm] komplex differenzierbar und f'(z) = cf(z), wobei c : = f'(0)
Das ist noch klar.
> Setze g(z) = [mm] \bruch{f(z)}{e^{cz}} [/mm] und man überzeuge sich davo, dass g'(z) = 0 ist für jedes z.
Wie kommst du jetzt darauf, so ein g zu definieren??? Warum kann man das einfach so sagen?? Und wieso ist die ableitung 0?? Ich habe:
[mm] g'(z)=\bruch{f'(z)*e^{cz}-f(z)*(c*e^{cz}*f(z))}{e^{2cz}}
[/mm]
> g ist somit konstant, also ex. ein C mit:
> f(z) = $ [mm] Ce^{cz}. [/mm]
Soll jetzt hier C das g(z) darstellen??
> Wegen 1 = f(0) ist C = 1
Danke nochmal für Hilfe.
grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi, ich muss zu dieser Aufgabe doch nochmal paar fragen
> stellen, weil mir gerade aufgefallen ist, dass ich doch
> nicht alles verstanden habe:
>
>
> > D.h. : f ist auf [mm]\IC[/mm] komplex differenzierbar und f'(z) =
> cf(z), wobei c : = f'(0)
>
> Das ist noch klar.
>
> > Setze g(z) = [mm]\bruch{f(z)}{e^{cz}}[/mm] und man überzeuge sich
> davo, dass g'(z) = 0 ist für jedes z.
>
>
> Wie kommst du jetzt darauf, so ein g zu definieren???
Man vermutet: f ist von der Form f(z) = [mm] e^{cz}. [/mm]
Es gilt: f(z) = [mm] e^{cz} \gdw [/mm] g(z) = [mm]\bruch{f(z)}{e^{cz}}[/mm] ist konstant [mm] \gdw [/mm] g' = 0
> Warum kann man das einfach so sagen?? Und wieso ist die
> ableitung 0?? Ich habe:
>
> [mm]g'(z)=\bruch{f'(z)*e^{cz}-f(z)*(c*e^{cz}*f(z))}{e^{2cz}}[/mm]
Das ist falsch.
[mm]g'(z)=\bruch{f'(z)*e^{cz}-f(z)*c*e^{cz}}{e^{2cz}}[/mm][mm] =\bruch{cf(z)*e^{cz}-f(z)*c*e^{cz}}{e^{2cz}} [/mm] = 0
>
> > g ist somit konstant, also ex. ein C mit:
>
> > f(z) = $ [mm]Ce^{cz}.[/mm]
>
> Soll jetzt hier C das g(z) darstellen??
Ja, g ist doch konstant !
FRED
>
> > Wegen 1 = f(0) ist C = 1
>
>
> Danke nochmal für Hilfe.
>
> grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 23.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Ok, jetzt hats klick gemacht.
Danke danke.
|
|
|
|
