Komplexe geometrische Reihe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Do 19.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Gegeben ist die komplexe geometrische Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k [/mm] , z=a+bi [mm] \in \IC
[/mm]
a) Berechne das Konvergenzgebiet
b) Bestimme den Grenzwert der Reihe
c) Bestimme den Betrag des Grenzwertes |
Hallo,
hier einmal meine Lösung:
a)
[mm] |\bruch{\overline{z}+2}{z}|<1 \Rightarrow |\bruch{a-bi+2}{a+bi}|<1 \Rightarrow \bruch{\wurzel{(a+2)^2+b^2}}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm] <1 [mm] \Rightarrow \wurzel{(a+2)^2+b^2} [/mm] < [mm] \wurzel{a^2+b^2} \Rightarrow [/mm] a < -1
b)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k-1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{\overline{z}+2}{z}}-1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{z-\overline{z}+2}{z}}-1 [/mm] = [mm] \bruch{z}{z-\overline{z}+2}-1 [/mm] = [mm] \bruch{a+bi}{2bi+2}-1 [/mm] = [mm] \bruch{a-3bi+2}{2bi+2}
[/mm]
c)
|Re|+|Im| = [mm] \wurzel{Re^2+Im^2} [/mm] = [mm] \wurzel{(a+2)^2+3b^2}
[/mm]
Ist meine Lösung so richtig und kann man ggf. noch etwas verändern?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 19.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die komplexe geometrische Reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k[/mm] , z=a+bi
> [mm]\in \IC[/mm]
>
> a) Berechne das Konvergenzgebiet
> b) Bestimme den Grenzwert der Reihe
> c) Bestimme den Betrag des Grenzwertes
> Hallo,
>
> hier einmal meine Lösung:
>
> a)
>
> [mm]|\bruch{\overline{z}+2}{z}|<1 \Rightarrow |\bruch{a-bi+2}{a+bi}|<1 \Rightarrow \bruch{\wurzel{(a+2)^2+b^2}}{\wurzel{a^2+b^2}}[/mm]
> <1 [mm]\Rightarrow \wurzel{(a+2)^2+b^2}[/mm] < [mm]\wurzel{a^2+b^2} \Rightarrow[/mm]
> a < -1
Das stimmt nicht. Richtig: a < -1/2
Edit: a<-1 ist doch richtig.
>
> b)
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{\overline{z}+2}{z})^k-1[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{\overline{z}+2}{z}}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{z-\overline{z}+2}{z}}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{z}{z-\overline{z}+2}-1[/mm] = [mm]\bruch{a+bi}{2bi+2}-1[/mm] =
> [mm]\bruch{a-3bi+2}{2bi+2}[/mm]
Das stimmt.
>
> c)
>
> |Re|+|Im| = [mm]\wurzel{Re^2+Im^2}[/mm] = [mm]\wurzel{(a+2)^2+3b^2}[/mm]
Zum ersten "=": Pythagoras dreht sich im Grabe um ! I.a. ist
[mm] |x|+|y|=\wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
falsch !
Zum zweiten "=": lies die Aufgabenstellung nochmal.
>
> Ist meine Lösung so richtig und kann man ggf. noch etwas
> verändern?
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 19.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo fred,
vielen Dank für die Antwort!
Zu a)
Muss es hier richtig heißen [mm] \bruch{\wurzel{(a+2-1)^2+b^2}}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm] ?
Ansonsten sehe ich meinen Fehler leider nicht :(
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Hallo,
> vielen Dank für die Antwort!
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> Zu a)
>
> Muss es hier richtig heißen
> [mm]\bruch{\wurzel{(a+2-1)^2+b^2}}{\wurzel{a^2+b^2}}[/mm] ?
>
> Ansonsten sehe ich meinen Fehler leider nicht :(
Ich hatte es schon gestern Abend durchgerechnet, bin aber nicht mehr zu einer echten Antwort gekommen. Deine Rechnung bei a), insbesondere dass a<-1 gelten muss für das Konvergenzgebiet, ist richtig. Vermutlich hat Fred sich irgendwie verrechnet.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Do 19.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo Fred,
Aufgabe a führt doch auf die Betragsungl.
|a+2|<|a|
Ich bekomme da auch a<-1 als Lösungsmenge, wie auch der Themenstarter.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:23 Fr 20.01.2017 | | Autor: | fred97 |
Hallo Diophant,
upps ! Du hast recht !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 22.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich stehe bei Teil c) immer noch etwas auf dem Schlauch :(
Mit Teil b) habe ich ja den Grenzwert erhalten $ [mm] \bruch{a-3bi+2}{2bi+2} [/mm] $
Da ich jeweils im Zähler und Nenner einen Real- und Imaginärteil habe, denke ich, dass ich diese zunächst trennen muss. Ich habe dazu folgende Vorschrift gefunden: [mm] \bruch{a+bi}{c+di} [/mm] = [mm] \bruch{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} [/mm] = [mm] \bruch{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}
[/mm]
Bedeutet das dann für meinen Fall: [mm] \bruch{((a+2)+3bi)(2-2bi)}{2^2+2^2} [/mm] ?
Viele Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 22.01.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
auch dein Ergebnis für b) hat im Nenner noch einen Fehler Nenner richtig ist 2b*i-2
Betrag eines Bruches ist Betrag Zähler / Betrag Nenner , das ist einfacher.
Gruß leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Do 26.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo leduart,
bedeutet das, dass um den Bruch aus b) nur Betragsstrich gesetzt werden müssen?
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Hallo,
>
> bedeutet das, dass um den Bruch aus b) nur Betragsstrich
> gesetzt werden müssen?
Nein, das bedeutet natürlich, dass diese Beträge auch ausgerechnet werden müssen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 So 29.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
[mm] |\bruch{a-3bi+2}{2bi-2}| [/mm] = [mm] \bruch{|a-3bi+2|}{|2bi-2|}
[/mm]
Jetzt sehe ich aber nicht, wie ich weiter vorgehen kann bzw. wie man die Beträge auflösen soll ist mir unklar.
Hoffe, dass ihr mir helfen könnt
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Hallo,
> Hallo,
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> [mm]|\bruch{a-3bi+2}{2bi-2}|[/mm] = [mm]\bruch{|a-3bi+2|}{|2bi-2|}[/mm]
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> Jetzt sehe ich aber nicht, wie ich weiter vorgehen kann
> bzw. wie man die Beträge auflösen soll ist mir unklar.
>
> Hoffe, dass ihr mir helfen könnt
>
Wenn ich das richtig sehe, wurde das bereist mehrfach vorgeschlagen. Man berechnet die Beträge von Zähler und Nenner getrennt und dividiert sie durcheinander.
Ich rechne dir den Nenner:
[mm] \left|-2+2bi\right|=\sqrt{4+4b^2}=2*\sqrt{1+b^2}
[/mm]
Verbleibt für dich der Zähler, und dann noch beide Beträge dividieren.
Wenn man solche Aufgaen erfolgreich bearbeiten möchte, dann sollte man die Grundlagen der Komplexen Zahlen einigermaßen verinnerlicht haben. Das ist bei dir nicht der Fall (soviel kann man hier herauslesen). Von daher wäre es in deinem Interesse sinnvoller, ein Lehrbuch oder Skript zu studieren als hier im Blindflug weiterzumachen...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 29.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort!
Dann versuche ich es mal für den Zähler:
|(a+2)-3bi| = [mm] \wurzel{(a+2)^2+(-3b)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{a^2+4+9b^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 So 29.01.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nein, bedenke die binomische Formel.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 29.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
hier nochmal:
|(a+2)-3bi| = $ [mm] \wurzel{(a+2)^2+(-3b)^2} [/mm] $ = [mm] \wurzel{a^2+4a+4+9b^2}
[/mm]
kann man das dann so stehen lassen, oder muss noch etwas geändert werden ?
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Hallo,
das scheint mir jetzt richtig zu sein. Das Binom in der Wurzel muss man nicht zwingend ausmultiplizieren, nur von Beachten war die Rede.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 02.02.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich habe noch einmal eine kurze Frage:
Mein ursprünglich angegebenes Ergebnis lautete ja
$ [mm] \bruch{a-3bi+2}{2bi-2} [/mm] $
In einer Diskussion kam nun die Vermutung auf, dass das richtige Ergebnis doch
[mm] \bruch{a-bi-2}{2bi-2}
[/mm]
lauten muss.
Nun bin ich mir unsicher, was richtig ist. Könntet ihr da nochmal drüber schauen?
Vielen Dank
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Hallo,
zunächst muss ich gestehen, dass ich in meinen Antworten den Grenzwert nicht nachgeprüft hatte, sondern übernommen habe. Der hier kursierende Grenzwert ist in der Tat falsch.
Ich bekomme
[mm]\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{ \overline{z}+2}{z}\right)^k&=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{a-ib+2}{a+ib}\right)^k\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{a-ib+2}{a+ib}\right)^k-1\\
&=\frac{1}{1-\frac{a-ib+2}{a+ib}}-1\\
&=\frac{1}{\frac{a+ib-(a-ib+2)}{a+ib}}-1\\
&=\frac{1}{\frac{2ib-2}{a+ib}}-1\\
&=\frac{a+ib}{2ib-2}-1\\
&=\frac{a+ib-2ib+2}{2ib-2}\\
&=\frac{a+2-ib}{-2+2ib}
\end{aligned}[/mm]
Also auch ein von deinem abweichenden Grenzwert. Wie so oft: zu Beginn meiner Antwort wusste ich noch nicht, was ich jetzt weiß: dass noch Arbeit auf mich wartet. Insofern könnte das nochmals jemand nachrechnen, ich kann nicht ganz ausschließen, dass auch mir ein Fehler unterlaufen ist.
Gruß, Diophant
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