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| Aufgabe | Bestimme alle komplexen Lösungen folgender Gleichung:
[mm]z^{5} = -6 + 7i[/mm] |
Hallo,
ich stehe im Moment auf dem Schlauch. Ich weiß nicht was ich bei dieser Aufgabe tun soll bzw. WIE ich es tun soll.
Kleine Hilfestellungen und Tipps wären supernett.
Danke und mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
kennst du die Formel von de Moivre?
Diese besagt, dass man die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl, wenn sie in Polarkoordianten steht, so berechnen kann:
[mm] $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}*\left(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)$
[/mm]
Das [mm] 2k\pi [/mm] ist die Unbestimmtheit der Winkelfunktionen. Wenn du nämlich jeden Winkel um 360° bzw [mm] 2\pi [/mm] vergrößerst, so erhälst du wieder den selben Wert bei den trigonometrischen Funktionen heraus. Also: cos(30°)=cos(360°+30°) etc.
Deshalb bekommst du auch mehr als eine fünfte Wurzel bei den Komplexen Zahlen heraus.
Nun gut, dein k geht dann von 0 bis n-1. Denn wenn dein k=n ist, so fangen deine Cosinus bzw. Sinus-Werte an, sich zu wiederholen.
Wenn du dann diese Formel auf dein Problem anwendest, und du deine komplexe Zahl in Polarkorrdinaten darstellst, solltest du alle fünf Lösungen finden können.
LG
Kroni
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> Hi,
>
> kennst du die Formel von de Moivre?
Nur vom Hörensagen 
> Diese besagt, dass man die n-te Wurzel aus einer komplexen
> Zahl, wenn sie in Polarkoordianten steht, so berechnen
> kann:
>
> [mm]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}*\left(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n}\right)[/mm]
> ....
> Wenn du dann diese Formel auf dein Problem anwendest, und
> du deine komplexe Zahl in Polarkorrdinaten darstellst,
> solltest du alle fünf Lösungen finden können.
>
Ich muss da leider nochmal nachhaken:
Was bedeuted das nun konkret für die obige Gleichung?
Danke und lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast deine komplexe Zahl z. Was du nun brauchst ist folgendes: Du musst 1) Den Betrag von z berechnen, und dann noch den Winkel rausfinden, der zu deiner komplexen Zahl gehört. Zeichne dir dazu am besten mal deine komplexe Zahl in die Gauß'sche Zahlenebene. Dann kannst du Formeln aufstellen für den Winkel [mm] \phi, [/mm] indem du dir dann einfach deine Zahl aufzeichnest und dann ein paar Dreiecke einzeichnest.
Wenn du dann phi hast, setzt du für n=5 ein und bekommst dann diene fünf Lösungen, indem du für k nach und nach 0 bis 4 einsetzt.
LG
Kroni
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