Komplexer Einheitskreis < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der Einheitskreis um den Ursprung in der komplexen Ebene wird mit S bezeichnet, d.h. S= [mm] \{ z \in \IC | |z|=1 \}. [/mm] Seien z,w,v [mm] \in [/mm] S. Skizzieren Sie S und beweisen Sie: a) z^-1 = z konjugiert |
Hallo Leute,
z konjugiert ist ja das Gleiche wie z bloß halt an der x-Achse gespiegelt. D.h. die Strecke bleibt die Gleiche (1). Und z^-1 ist ja 1/z und wenn ich weiß dass mein |z|=1 ist es doch 1/1. Ist die Überlegung richtig?? Wie schreibe ich das mathematisch ordentlich hin??
Danke :)
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> Der Einheitskreis um den Ursprung in der komplexen Ebene
> wird mit S bezeichnet, d.h. S= [mm]\{ z \in \IC | |z|=1 \}.[/mm]
> Seien z,w,v [mm]\in[/mm] S. Skizzieren Sie S und beweisen Sie: a)
> z^-1 = z konjugiert
> Hallo Leute,
>
> z konjugiert ist ja das Gleiche wie z bloß halt an der
> x-Achse gespiegelt. D.h. die Strecke bleibt die Gleiche
> (1). Und z^-1 ist ja 1/z und wenn ich weiß dass mein |z|=1
> ist es doch 1/1. Ist die Überlegung richtig?? Wie schreibe
> ich das mathematisch ordentlich hin??
>
> Danke :)
Hallo,
was du zeigen sollst, ist: wenn [mm] z\in{S} [/mm] , dann ist [mm] z^{-1}=\overline{z}
[/mm]
Um den Beweis durchzuführen, hast du jetzt verschiedene
Möglichkeiten:
1.) Setze z=x+i*y , berechne den Kehrwert [mm] z^{-1}=\frac{1}{z} [/mm] in
rechtwinkligen Koordinaten und benütze |z|=1
2.) Benütze die Polar- bzw. die Exponentialdarstellung
LG Al-Chw.
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ich habe für z=a+bi gesetzt und es ausgerechnet:
bin dann soweit gekommen: [mm] 1=a^2+b^2
[/mm]
und [mm] a^2+b^2 [/mm] muss ja 1 ergeben weil die Strecke also betrag von z ja gleich 1 ist. bin ich an dieser stelle nicht schon fertig??
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Hallo derahnungslose,
> ich habe für z=a+bi gesetzt und es ausgerechnet:
Was hast du ausgerechnet??
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> bin dann soweit gekommen: [mm]1=a^2+b^2[/mm]
>
> und [mm]a^2+b^2[/mm] muss ja 1 ergeben weil die Strecke also betrag
> von z ja gleich 1 ist. bin ich an dieser stelle nicht schon
> fertig??
Nirgends ist zu sehen, dass [mm]\frac{1}{z}=\overline z[/mm] ist ...
Und genau das sollst du ja zeigen.
Dass mit [mm]z=a+bi\in S[/mm] dann [mm]a^2+b^2=1[/mm] ist, ist doch aus der Definition von [mm]S[/mm] klar.
Setze besser so an:
Mit [mm]z=a+bi[/mm] ist [mm]\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=...=\overline z[/mm]
Fülle die kleine Lücke noch aus ...
Gruß
schachuzipus
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Also ich habe paar Schritte übersprungen, deswegen wurde es etwas unübersichtlich. So steht es auf meinem Blatt:
1/z = 1/(a+bi) z konjugiert= (a-bi)
1/(a+bi)=(a-bi) das habe ich mit (a+bi) multipliziert
1=(a-bi)*(a+bi) das ausmultipliziert ergibt
[mm] 1=a^2+b^2
[/mm]
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Hallo Ahnungsloser,
> Also ich habe paar Schritte übersprungen, deswegen wurde
> es etwas unübersichtlich. So steht es auf meinem Blatt:
> 1/z = 1/(a+bi) z konjugiert= (a-bi)
>
> 1/(a+bi)=(a-bi) das habe ich mit (a+bi) multipliziert
> 1=(a-bi)*(a+bi) das ausmultipliziert ergibt
> [mm]1=a^2+b^2[/mm]
Das sind doch alle Schritte, die man braucht.
Was sagt Dir denn die letzte Gleichung? Was hat sie mit dem komplexen Einheitskreis zu tun?
Du bist fertig, nur musst Du noch wissen, wieso eigentlich.
Grüße
reverend
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wenn ich das richtig interpretiere steht da:
dass die hypothenuse immer die länge =1 hat .. was ja beim einheitskreis gegeben ist sonst wäre es kein element von S, richtig?
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> wenn ich das richtig interpretiere steht da:
>
> dass die hypothenuse immer die länge =1 hat .. was ja beim
> einheitskreis gegeben ist sonst wäre es kein element von
> S, richtig?
Genau. Es ist die Gleichung des Einheitskreises selbst!
Grüße
reverend
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> Also ich habe paar Schritte übersprungen, deswegen wurde
> es etwas unübersichtlich. So steht es auf meinem Blatt:
> 1/z = 1/(a+bi) z konjugiert= (a-bi)
>
> 1/(a+bi)=(a-bi) das habe ich mit (a+bi) multipliziert
> 1=(a-bi)*(a+bi) das ausmultipliziert ergibt
> [mm]1=a^2+b^2[/mm]
Hallo,
wenn ich deinen Gedankengang richtig verstanden habe,
zeigst du eigentlich:
Falls $\ [mm] z^{-1}\ [/mm] =\ [mm] \overline{z}$ [/mm] , dann ist $\ |z|\ =\ 1$
Verlangt war aber eigentlich der Beweis der Aussage:
Falls $\ |z|\ =\ 1$ , dann ist $\ [mm] z^{-1}\ [/mm] =\ [mm] \overline{z}$ [/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Di 08.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
hier sind die beiden Richtungen doch identisch herzuleiten, da nur Äquivalenzen vorkommen.
Insofern ist da kein logischer Unterschied, oder?
Gut beobachtet ist es trotzdem, wie immer. 
Grüße
reverend
PS: Außerdem hat Fred doch schon den direkten Weg in der richtigen Richtung gezeigt.
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Salve Reverend,
> hier sind die beiden Richtungen doch identisch herzuleiten,
> da nur Äquivalenzen vorkommen.
> Insofern ist da kein logischer Unterschied, oder?
Ich fände nur wichtig, dass man sich beim Beweis
jeweils klar macht (und das auch mit den richtigen
Pfeilen oder durch die passenden Worte zum Ausdruck
bringt), ob es sich um (einseitige) Folgerungen [mm] (\Rightarrow)
[/mm]
oder Äquivalenzen [mm] (\gdw) [/mm] handelt, oder allenfalls um [mm] (\Leftarrow) [/mm] .
> Gut beobachtet ist es trotzdem, wie immer.
>
> Grüße
> reverend
>
> PS: Außerdem hat Fred doch schon den direkten Weg in der
> richtigen Richtung gezeigt.
Ja - und eben auch in der bekannten Fredschen Kürze und
Präzision ...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Salve Reverend,
>
> > hier sind die beiden Richtungen doch identisch herzuleiten,
> > da nur Äquivalenzen vorkommen.
> > Insofern ist da kein logischer Unterschied, oder?
>
> Ich fände nur wichtig, dass man sich beim Beweis
> jeweils klar macht (und das auch mit den richtigen
> Pfeilen oder durch die passenden Worte zum Ausdruck
> bringt), ob es sich um (einseitige) Folgerungen
> [mm](\Rightarrow)[/mm]
> oder Äquivalenzen [mm](\gdw)[/mm] handelt, oder allenfalls um
> [mm](\Leftarrow)[/mm] .
>
> > Gut beobachtet ist es trotzdem, wie immer.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
> > PS: Außerdem hat Fred doch schon den direkten Weg in der
> > richtigen Richtung gezeigt.
>
> Ja - und eben auch in der bekannten Fredschen Kürze und
> Präzision ...
>
> LG Al
Hallo Al,
noch kürzer: für $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}:$
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{z}= \overline{z} [/mm] ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ [mm] 1=z*\overline{z}=|z|^2 [/mm] ~~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ |z|=1$
Gruß FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Für $z [mm] \in [/mm] S$:
[mm] \bruch{1}{z}= \bruch{\overline{z}}{z* \overline{z}}= \bruch{ \overline{z}}{|z|^2}= \bruch{\overline{z}}{1}= \overline{z}$
[/mm]
FRED
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hallo zusammen und schonmal danke für die Hilfestellung (habe die selbe Aufgabe zu lösen gehabt)
meine Frage wäre noch gewesen, wenn ich z als a+bi ausschreibe und den bruch mit a+bi konjugiert sprich a-bi erweitere, wieso ergibt sich dann im Nenner 1?
meine rechnung hat so ausgesehen:
[mm] \bruch{1}{a+bi} [/mm] = [mm] \bruch{(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)} [/mm] = [mm] \bruch{a-bi}{a^2+abi-abi+b^2} [/mm] = [mm] \bruch{(a-bi)}{a^2+b^2}
[/mm]
So oder ähnlich sahen auch meine Rechnungen für die anderen Fragen zum Einheitskreis aus (Beweisen sie das [mm] z\*w \in \S [/mm] , [mm] \bruch{z}{w} \in \S [/mm] etc.)
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Hallo keenblade,
> hallo zusammen und schonmal danke für die Hilfestellung
> (habe die selbe Aufgabe zu lösen gehabt)
> meine Frage wäre noch gewesen, wenn ich z als a+bi
> ausschreibe und den bruch mit a+bi konjugiert sprich a-bi
> erweitere, wieso ergibt sich dann im Nenner 1?
Na, es war doch [mm]z=a+bi\in S[/mm] vorausgesetzt, dh. [mm]\red{1}=|z|=|a+bi|=\red{\sqrt{a^2+b^2}}[/mm]
Damit auch (quadrieren) [mm]1=a^2+b^2[/mm]
>
> meine rechnung hat so ausgesehen:
> [mm]\bruch{1}{a+bi}[/mm] = [mm]\bruch{(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}[/mm] =
> [mm]\bruch{a-bi}{a^2+abi-abi+b^2}[/mm] = [mm]\bruch{(a-bi)}{a^2+b^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genauso ist es! Nun [mm]a^2+b^2=1[/mm] verwenden und du bist fertig
> So oder ähnlich sahen auch meine Rechnungen für die
> anderen Fragen zum Einheitskreis aus (Beweisen sie das [mm]z\*w \in \S[/mm]
> , [mm]\bruch{z}{w} \in \S[/mm] etc.)
>
Gruß
schachuzipus
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ok, danke schachi
aber wir gehen doch davon aus, dass der betrag [mm] \sqrt{a^2+b^2} [/mm] ist
aber [mm] a^2+b^2 \not=\sqrt{a^2+b^2}
[/mm]
also wie kann ich die 2 Sachen einfach miteinander gleichsetzen?
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Hallo nochmal,
> ok, danke schachuzipus
> aber wir gehen doch davon aus, dass der betrag
> [mm]\sqrt{a^2+b^2}[/mm] ist
> aber [mm]a^2+b^2 \not=\sqrt{a^2+b^2}[/mm]
Hat ja auch keiner behauptet, dass das allg. gilt.
Es ist [mm]z=a+bi\in S[/mm].
Schaue in den ersten post, dort steht, dass die Elemente in [mm]S[/mm] Betrag 1 haben, also
[mm]|z|=1[/mm]
[mm]\gdw \sqrt{a^2+b^2}=1[/mm] nach Def. [mm]|z|[/mm] im Komplexen
[mm]\gdw (\sqrt{a^2+b^2})^2=1^2[/mm] ("genau dann, wenn", weil beide Seiten [mm]\ge 0[/mm] sind)
[mm]\gdw a^2+b^2=1[/mm]
Gruß
schachuzipus
> also wie kann ich die 2
> Sachen einfach miteinander gleichsetzen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Mi 09.11.2011 | | Autor: | keenblade |
ach sooo^^
ja sa sieht man den wald vor lauter komplexen nicht mehr :)
lieben dank:o)
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