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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Di 19.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei $f$ der auf [mm] $\IC^{*}\backslash\{z\in\IC\mid \mathrm{arg}(z)=\frac{3\pi}{4}\}$ [/mm] definierte Zweig des Logarithmus mit $f(1)=0$.
(1): Entwickeln Sie $f$ in eine Potenzreihe um $-1$.
(2): Wo konvergiert diese?
(3): Wo stellt Sie $f$ dar? |
Hallo an alle,
meine Frage ist: Wie genau sieht $f$ aus? Potenzreihenentwicklung sowie die Berechnung des Konvergenzradius sollte ich eigentlich hinbekommen, aber ohne eine Vorstellung darüber, wie die Funktion $f$ genau definiert ist, wird es mir sicherlich nicht gelingen. Daher wäre es sehr hilfreich, wenn mir jemand erklären könnte, wie $f$ aussieht.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Mi 20.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Denny
> Sei [mm]f[/mm] der auf [mm]\IC^{*}\backslash\{z\in\IC\mid \mathrm{arg}(z)=\frac{3\pi}{4}\}[/mm]
> definierte Zweig des Logarithmus mit [mm]f(1)=0[/mm].
> (1): Entwickeln Sie [mm]f[/mm] in eine Potenzreihe um [mm]-1[/mm].
> (2): Wo konvergiert diese?
> (3): Wo stellt Sie [mm]f[/mm] dar?
> Hallo an alle,
>
> meine Frage ist: Wie genau sieht [mm]f[/mm] aus?
Es ist halt der Logarithmus :) Du weisst also, dass $f'(z) = [mm] \frac{1}{z}$ [/mm] ist.
Fuer die Potenzreihenentwicklung brauchst du allerdings auch noch den Funktionswert.
> Potenzreihenentwicklung sowie die Berechnung des
> Konvergenzradius sollte ich eigentlich hinbekommen, aber
> ohne eine Vorstellung darüber, wie die Funktion [mm]f[/mm] genau
> definiert ist, wird es mir sicherlich nicht gelingen.
Nun, der Konvergenzradius ist 1, da du den Logarithmus auf [mm] $B_1(-1)$ [/mm] definieren kannst, aber nicht fuer groessere Radien. Und der Konvergenzradius von Potenzreihen ist immer maximal.
> Daher
> wäre es sehr hilfreich, wenn mir jemand erklären könnte,
> wie [mm]f[/mm] aussieht.
Also rein formal ist [mm] $\log(-x) [/mm] = [mm] \log(-1) [/mm] + [mm] \log [/mm] x$, womit sich der Logarithmus bis auf einen additiven Faktor symmetrisch zum Nullpunkt ist.
Und [mm] $\exp(\log(-1)) [/mm] = -1$, womit [mm] $\log(-1) \in [/mm] i [mm] \pi [/mm] + 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \IZ$ [/mm] liegt. Welcher dieser Werte $f(-1)$ ist, musst du anhand der Aufgabenstellung selber herausfinden  (Schau doch mal [mm] $f(e^{i t})$ [/mm] an mit $t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]$.)
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:16 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Dank Dir Felix, ich werde mir mal Gedanken dazu machen.
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