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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Duchy |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
(Buch: Lambacher Schweizer S.43 Nr.15)
Aufgabe: In einem Kreis (Radius r) liegt ein Quadrat, dessen Seiten (a) je eine Seite eines Dreiecks ist (Höhe des Dreiecks, senkrecht zur Siete des Quadrats x). Die dritten Ecken der Dreiecke liegen auf dem Kreisrand (Die Figur sieht aus wie ein symmetrischer Stern in einem Kreis). Sobald man diese äußeren Ecken hochklappt entsteht eine quadratische Pyramide (dessen Höhe h).
Gesucht wird das größt mögliche Volumen.
Meine bisherigen Lösungen:
Extremalbedingung: V = [mm] \bruch{1}{3} \* [/mm] h [mm] \*[/mm] a²
Nebenbedingungen:
h² = x² - ([mm] \bruch{a}{2}[/mm])²
a = 2r - 2x
Ab hier beginnt mein Problem, denn alle meine Nebenbedingungen haben drei Unbekannte, die sich nicht so in die Volumenformel einsetzen lassen, sodass sich die Zielfunktion erstellen lässt wodrin nur eine Unbekannte vorkommt.
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Hallo Duchy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe: In einem Kreis (Radius r) liegt ein Quadrat,
> dessen Seiten (a) je eine Seite eines Dreiecks ist (Höhe
> des Dreiecks, senkrecht zur Siete des Quadrats x). Die
> dritten Ecken der Dreiecke liegen auf dem Kreisrand (Die
> Figur sieht aus wie ein symmetrischer Stern in einem
> Kreis). Sobald man diese äußeren Ecken hochklappt entsteht
> eine quadratische Pyramide (dessen Höhe h).
> Gesucht wird das größt mögliche Volumen.
>
> Meine bisherigen Lösungen:
>
> Extremalbedingung: V = [mm]\bruch{1}{3} \*[/mm] h [mm]\*[/mm] a²
>
> Nebenbedingungen:
>
> h² = x² - ([mm] \bruch{a}{2}[/mm])²
>
> a = 2r - 2x
>
>
> Ab hier beginnt mein Problem, denn alle meine
> Nebenbedingungen haben drei Unbekannte, die sich nicht so
> in die Volumenformel einsetzen lassen, sodass sich die
> Zielfunktion erstellen lässt wodrin nur eine Unbekannte
> vorkommt.
Setze das die letzte Gleichung in die zweite Gleichung ein, dann bekommst Du h = h(x).
Nun setzt Du a = a(x) und h=h(x) in die erste Gleichung ein, und kannst dann das Extremum bestimmen.
Gruß
MathePower
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