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| Aufgabe | Sei $r>0$, [mm] w\in\IC [/mm] und [mm] |w|\not=r. [/mm] Berechne das Integral
[mm] \int\limits_{|z|=r}\frac{e^{iz}}{z-w}dz
[/mm]
Hinweis: Fallunterscheidung |w|<r und |w|>r und Anwendung bekannter Formeln |
Hallo Freunde der Zahlen,
Ich quäle mich gerade durch die Welten der Funktionentheorie.
Obiges Integral sei dabei zu lösen.
Für |w|<r habe ich mir gedacht, dass man den Cauchyschen Integralsatz anwendet.
Ergebnis wäre dann schlicht und einfach: [mm] \int_{|z|=r}\frac{e^{iz}}{z-w}dz=2\pi*i*f(w)
[/mm]
Doch was mache ich, wenn der Punkt w außerhalb der Kreisscheibe liegt? Soll man dann eine Parametrisierung finden, einsetzen und es "einfach" berechnen? Das impliziert ja ein furchtbares Integral :/ Ich glaub das entstehende Biest würde ich nicht so leicht in den Griff bekommen.
Über kurze Stellungnahme freue ich mich.
Liebe Grüße
Richie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]r>0[/mm], [mm]w\in\IC[/mm] und [mm]|w|\not=r.[/mm] Berechne das Integral
> [mm]\int\limits_{|z|=r}\frac{e^{iz}}{z-w}dz[/mm]
>
> Hinweis: Fallunterscheidung |w|<r und |w|>r und Anwendung
> bekannter Formeln
> Hallo Freunde der Zahlen,
>
> Ich quäle mich gerade durch die Welten der
> Funktionentheorie.
> Obiges Integral sei dabei zu lösen.
>
> Für |w|<r habe ich mir gedacht, dass man den Cauchyschen
> Integralsatz anwendet.
Du meinst sicher die Cauchysche Integralformel
> Ergebnis wäre dann schlicht und einfach:
> [mm]\int_{|z|=r}\frac{e^{iz}}{z-w}dz=2\pi*i*f(w)[/mm]
>
> Doch was mache ich, wenn der Punkt w außerhalb der
> Kreisscheibe liegt? Soll man dann eine Parametrisierung
> finden, einsetzen und es "einfach" berechnen? Das
> impliziert ja ein furchtbares Integral :/ Ich glaub das
> entstehende Biest würde ich nicht so leicht in den Griff
> bekommen.
Für |w|>r ist [mm] \frac{e^{iz}}{z-w} [/mm] holomorph auf der offenen Kreischeibe um 0 mir Radius R, wobei r<R<|w|
Jetzt den Intewgralsatz rausholen.
FRED
>
>
> Über kurze Stellungnahme freue ich mich.
>
> Liebe Grüße
> Richie
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort.
> > Sei [mm]r>0[/mm], [mm]w\in\IC[/mm] und [mm]|w|\not=r.[/mm] Berechne das Integral
> > [mm]\int\limits_{|z|=r}\frac{e^{iz}}{z-w}dz[/mm]
> >
> > Hinweis: Fallunterscheidung |w|<r und |w|>r und Anwendung
> > bekannter Formeln
> > Hallo Freunde der Zahlen,
> >
> > Ich quäle mich gerade durch die Welten der
> > Funktionentheorie.
> > Obiges Integral sei dabei zu lösen.
> >
> > Für |w|<r habe ich mir gedacht, dass man den Cauchyschen
> > Integralsatz anwendet.
>
> Du meinst sicher die Cauchysche Integralformel
Genau das Teil meinte ich. Sorry.
>
>
> > Ergebnis wäre dann schlicht und einfach:
> > [mm]\int_{|z|=r}\frac{e^{iz}}{z-w}dz=2\pi*i*f(w)[/mm]
> >
> > Doch was mache ich, wenn der Punkt w außerhalb der
> > Kreisscheibe liegt? Soll man dann eine Parametrisierung
> > finden, einsetzen und es "einfach" berechnen? Das
> > impliziert ja ein furchtbares Integral :/ Ich glaub das
> > entstehende Biest würde ich nicht so leicht in den Griff
> > bekommen.
>
> Für |w|>r ist [mm]\frac{e^{iz}}{z-w}[/mm] holomorph auf der offenen
> Kreischeibe um 0 mir Radius R, wobei r<R<|w|
>
> Jetzt den Intewgralsatz rausholen.
Gebiet ist ja gegeben, und da der Weg [mm] \alpha [/mm] geschlossen ist (und f holomorph ist), ist [mm] \int_{\alpha}fdz=0
[/mm]
richtige Schlussfolgerung?
Sollte man an dieser Stelle noch zeigen, dass f holomorph ist? Wenn ja, wie?
Ich kenne nur den Nachweis der Holomorphie mittels den Cauchy-Riemannschen DGLs.
Mit den besten Grüßen
R.
>
> FRED
> >
> >
> > Über kurze Stellungnahme freue ich mich.
> >
> > Liebe Grüße
> > Richie
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine Antwort.
>
> > > Sei [mm]r>0[/mm], [mm]w\in\IC[/mm] und [mm]|w|\not=r.[/mm] Berechne das Integral
> > > [mm]\int\limits_{|z|=r}\frac{e^{iz}}{z-w}dz[/mm]
> > >
> > > Hinweis: Fallunterscheidung |w|<r und |w|>r und Anwendung
> > > bekannter Formeln
> > > Hallo Freunde der Zahlen,
> > >
> > > Ich quäle mich gerade durch die Welten der
> > > Funktionentheorie.
> > > Obiges Integral sei dabei zu lösen.
> > >
> > > Für |w|<r habe ich mir gedacht, dass man den Cauchyschen
> > > Integralsatz anwendet.
> >
> > Du meinst sicher die Cauchysche Integralformel
> Genau das Teil meinte ich. Sorry.
> >
> >
> > > Ergebnis wäre dann schlicht und einfach:
> > > [mm]\int_{|z|=r}\frac{e^{iz}}{z-w}dz=2\pi*i*f(w)[/mm]
> > >
> > > Doch was mache ich, wenn der Punkt w außerhalb der
> > > Kreisscheibe liegt? Soll man dann eine Parametrisierung
> > > finden, einsetzen und es "einfach" berechnen? Das
> > > impliziert ja ein furchtbares Integral :/ Ich glaub das
> > > entstehende Biest würde ich nicht so leicht in den Griff
> > > bekommen.
> >
> > Für |w|>r ist [mm]\frac{e^{iz}}{z-w}[/mm] holomorph auf der offenen
> > Kreischeibe um 0 mir Radius R, wobei r<R<|w|
> >
> > Jetzt den Intewgralsatz rausholen.
> Gebiet ist ja gegeben, und da der Weg [mm]\alpha[/mm] geschlossen
> ist (und f holomorph ist), ist [mm]\int_{\alpha}fdz=0[/mm]
> richtige Schlussfolgerung?
Ja
>
> Sollte man an dieser Stelle noch zeigen, dass f holomorph
> ist? Wenn ja, wie?
> Ich kenne nur den Nachweis der Holomorphie mittels den
> Cauchy-Riemannschen DGLs.
Satz: Ist D [mm] \subseteq [/mm] offen und sind f,g:D [mm] \to \IC [/mm] holomorph auf D und ist g nullstellenfrei, so ist f/g auf D holomorph.
Beweis: wörtlich wie üblich.
FRED
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> Mit den besten Grüßen
> R.
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> > FRED
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> > >
> > > Über kurze Stellungnahme freue ich mich.
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > Richie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Do 25.10.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Ich bedanke mich vielmals!
Zweite Aufgabe kommt auch bald hinzu. Da grübel ich aber selbst noch ein bisschen....
Grüße
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