Komplexes Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo habe bei dem folgenden komplexen Kurveninegral ein Problem:
[mm] \integral_{C_{1}} {e^{cos(z)} dz}
[/mm]
[mm] C_{1}: [/mm] [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich wollte das Bsp. so angehen indem ich zuerst entlang der reellen Achse Inegriere und dann entlang der beiden Halbkreise.
Aber wie löse ich dieses Integral?
Wäre für eure Hilfe sehr Dankbar!
Vielen Dank im Voraus
vengeta020
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo,
das sieht danach aus, als ob ihr vor kurzer Zeit den ![[]](/images/popup.gif) Cauchy'schen Integralsatz durchgenommen habt.
Da [mm] $e^{\cos(x)}$ [/mm] z.B. auf der Kreisscheibe [mm] $\{z:\quad |z|<4\}% [/mm] holomorph ist und [mm] $C_1$ [/mm] vollständig in dieser Scheibe liegt, muss das Integral den Wert 0 haben, weil Anfangs- und Endpunkt von [mm] $C_1$ [/mm] gleich sind.
Grüße,
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Mo 18.04.2005 | | Autor: | vengeta020 |
Danke jetzt ist es mir klar!
mfg
vengeta020
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Di 19.04.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> das sieht danach aus, als ob ihr vor kurzer Zeit den
> Cauchy'schen Integralsatz
> durchgenommen habt.
>
> Da [mm]$e^{\cos(x)}$[/mm] z.B. auf der Kreisscheibe [mm]$\{z:\quad |z|<4\}%[/mm]
> holomorph ist und [mm]$C_1$[/mm] vollständig in dieser Scheibe
> liegt, muss das Integral den Wert 0 haben, weil Anfangs-
> und Endpunkt von [mm]$C_1$[/mm] gleich sind.
das war auch meine erste Idee, komisch finde ich aber, dass die Aufgabe mit so einer aufwendigen Darstellung des Integrationsweges eine falsche Fährte legt (der Rand eines Kreises hätte es ja auch getan), so als ob man das Integral hier mal übungshalber zu Fuß berechnen sollte (ist mir aber nicht gelungen).
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:08 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallöle,
falls es überhaupt noch aktuell ist:
Die beiden Teilintegrale über die Abschnitte der reellen Achse ergeben wegen $f(-z)=f(z)$ zusammen [mm] $2\integral_{1}^{3}{e^{cos(t)}}dt$.
[/mm]
Die Teilintegrale über die Kreisbögen sind:
[mm] $\integral_{\pi}^{0}{i\;e^{i\;t+cos(e^{i\;t})}}dt$ [/mm] bzw [mm] $\integral_{0}^{\pi}{3\;i\;e^{i\;t+cos(e^{3\;i\;t})}}dt$. [/mm] mit der Substitution [mm] $z:=r\;e^{i\;t}$ [/mm] mit dem jeweils passenden r, ergibt sich als Integral über die beiden Bögen: [mm] $\integral_{-1}^{1}{e^{cos(z)}}dz [/mm] - [mm] \integral_{-3}^{3}{e^{cos(z)}}dz=-2\;\integral_{1}^{3}{e^{cos(z)}}dz$.
[/mm]
Fertig wg. $a-a=0$ 
Alles Gute,
Peter.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Peter!
> falls es überhaupt noch aktuell ist:
>
> Die beiden Teilintegrale über die Abschnitte der reellen
> Achse ergeben wegen [mm]f(-z)=f(z)[/mm] zusammen
> [mm]2\integral_{1}^{3}{e^{cos(t)}}dt[/mm].
> Die Teilintegrale über die Kreisbögen sind:
> [mm]\integral_{\pi}^{0}{i\;e^{i\;t+cos(e^{i\;t})}}dt[/mm] bzw
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{3\;i\;e^{i\;t+cos(e^{3\;i\;t})}}dt[/mm]. mit
> der Substitution [mm]z:=r\;e^{i\;t}[/mm] mit dem jeweils passenden
> r, ergibt sich als Integral über die beiden Bögen:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{e^{cos(z)}}dz - \integral_{-3}^{3}{e^{cos(z)}}dz=-2\;\integral_{1}^{3}{e^{cos(z)}}dz[/mm].
>
> Fertig wg. [mm]a-a=0[/mm]
Danke, super!
Da wäre ich wohl nicht drauf gekommen.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
