Komplizierte Folge Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 11.11.2010 | | Autor: | Jewgenij |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob diese Folge konvergiert und geben Sie ggf. den Grenzwert an!
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{ \vektor{2n \\ n} } [/mm] |
Hi Leute, also ich habe die Folge mal geplottet, und sie scheint gegen etwas in der Nähe von 4 zu konvergieren..
[mm] \wurzel[n]{ \vektor{2n \\ n} } [/mm] = [mm] \wurzel[n]{ \bruch{(2n)!}{n!^2} } \le \wurzel[n]{ \bruch{(2n)^{2n}}{n!^2} } \le \bruch{(2n)^2}{ \wurzel[n]{n!^2}}
[/mm]
Tja soweit mein versuch irgendeine Abschätzung nach oben zu finden...
vllt hat jemand von euch ja eine Idee...
Vielen Dank
Jewgenij
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Do 11.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie, ob diese Folge konvergiert und geben Sie
> ggf. den Grenzwert an!
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{ \vektor{2n \\ n} }[/mm]
>
> Hi Leute, also ich habe die Folge mal geplottet, und sie
> scheint gegen etwas in der Nähe von 4 zu konvergieren..
>
>
> [mm]\wurzel[n]{ \vektor{2n \\ n} }[/mm] = [mm]\wurzel[n]{ \bruch{(2n)!}{n!^2} } \le \wurzel[n]{ \bruch{(2n)^{2n}}{n!^2} } \le \bruch{(2n)^2}{ \wurzel[n]{n!^2}}[/mm]
>
> Tja soweit mein versuch irgendeine Abschätzung nach oben
> zu finden...
> vllt hat jemand von euch ja eine Idee...
Hallo,
so ganz spontan:
[mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] ist die mittlere Zahl der 2n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks. Nun beträgt die Summe ALLER Zahlen der k-ten Zeile genau [mm] 2^k; [/mm] in der (2n)-ten Zeile entsprechend [mm] 2^{2n}=4^n.
[/mm]
Die n-te Wurzel davon ist 4. Da die mittlere Zahl kleiner ist als die Summe aller Zahlen der Zeile, kommt eine Zahl kleiner als 4 heraus.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank
>
> Jewgenij
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Do 11.11.2010 | | Autor: | Jewgenij |
Hmm ok!
ICh habe aber glaube zu schlecht geschätzt:
[mm] \wurzel[n]{ \bruch{(2n)!}{n!^2} } \le \wurzel[n]{ \bruch{(2n)^{2n}}{n!^2} } \le \bruch{(2n)^2}{ \wurzel[n]{n!^2}} [/mm] = [mm] \bruch{4n^2}{ \wurzel[n]{n!}^2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{ \bruch{1}{n^2} \wurzel[n]{n!}^2 } \to \bruch{4}{ \bruch{1}{e^2}} =4e^2
[/mm]
Jemand eine Idee wie es besser geht? Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:11 Fr 12.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
beide Fakultäten durch die Stirlingformel ersetzen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Versuchs mal mit folgendem
SATZ: Sind alle [mm] x_n [/mm] >0 und ist [mm] (\bruch{x_{n+1}}{x_n}) [/mm] konvergent, so ist auch [mm] (\wurzel[n]{x_n}) [/mm] konvergent und beide Folgen haben den gleichen Grenzwert.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Jewgenij |
Hey Fred, vielen Dank, der Satz funktioniert, und der Lim ist tatsächlich 4. Weißt du wie dieser Satz heißt ? Ich kannte ihn bisher gar nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred, vielen Dank, der Satz funktioniert, und der Lim
> ist tatsächlich 4. Weißt du wie dieser Satz heißt ? Ich
> kannte ihn bisher gar nicht...
Einen Namen hat der Satz nicht. Du findest ihn (in allgemeinerer Form) z. B. in
H. Heuser, Lehrbuch der Analysis (Teil 1), Satz 28.7
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Anmerkung: untersucht man eine unendliche Reihe [mm] \sum a_n [/mm] mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz, so kann es pasieren, dass
(*) lim [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=1 [/mm]
ist. Dann liefert das Q. - Kriterium bekanntlich keine Entscheidung.
Obiger Satz besagt u.a.: gilt (*), so braucht man es mit dem Wurzelkriterium erst gar nicht versuchen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Fr 12.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
wenn dieser schöne Satz noch keinen Namen hat, wäre ich bereit, ihm den meinen zu verleihen. 
Bei welcher Behörde muss ich das beantragen?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> wenn dieser schöne Satz noch keinen Namen hat, wäre ich
> bereit, ihm den meinen zu verleihen.
Hallo rev
Etwa so: Satz von Reverend oder Referenzsatz ?
>
> Bei welcher Behörde muss ich das beantragen?
In meinem Wohnort: Rathaus Linkenheim
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Fr 12.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Etwa so: Satz von Reverend oder Referenzsatz ?
Ich dachte eher an "Satz von real name". Und irgendwo muss noch ein Apostroph hin, ist aber e'gal, wo.
> > Bei welcher Behörde muss ich das beantragen?
>
> In meinem Wohnort: Rathaus Linkenheim
Mist. Die haben jetzt zu und heute war Ende der Antragsfrist.
Muss ich wohl doch einen eigenen Satz schreiben.
Hier ist einer: "this hat is blue."
Mal sehen, worauf er sich anwenden lässt.
$ [mm] \{\mbox{"Gruß"},\ \mbox{"Gruß"},\ \mbox{"Gruß"}\} [/mm] $
r
ever
end
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Fr 12.11.2010 | | Autor: | reverend |
Cool. Da kommt der gleiche Satz heute nochmal ins Forum.
lg
rev
|
|
|
|
