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Hallo ich habe mal eine Frage es geht um die Komposition folgender Aufgabe:
[mm] f:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to 1-x^2, g:[0,\infty] \to \IR, [/mm] y [mm] \to \wurzel{y}
[/mm]
g [mm] \circ [/mm] f:[-1,1] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \to \wurzel{1-x^2}
[/mm]
Hier einmal die allgemeine Schreibweise:
f:A [mm] \to [/mm] B, g: B [mm] \to [/mm] C
g [mm] \circ [/mm] f: A [mm] \to [/mm] C, x [mm] \to [/mm] g(f(x))
ich verstehe hierbei nicht warum zu der obigen Aufgabe [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to 1-x^2, g:[0,\infty] \to \IR, [/mm] y [mm] \to \wurzel{y}
[/mm]
g [mm] \circ [/mm] f:[-1,1] [mm] \to \IR [/mm] und nicht g [mm] \circ f:\IR \to \IR
[/mm]
MFG domenigge135
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> Hallo ich habe mal eine Frage es geht um die Komposition
> folgender Aufgabe:
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> [mm]f:\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\to 1-x^2, g:[0,\infty] \to \IR,[/mm] y [mm]\to \wurzel{y}[/mm]
>
> g [mm]\circ[/mm] f:[-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\to \wurzel{1-x^2}[/mm]
>
> Hier einmal die allgemeine Schreibweise:
>
> f:A [mm]\to[/mm] B, g: B [mm]\to[/mm] C
>
> g [mm]\circ[/mm] f: A [mm]\to[/mm] C, x [mm]\to[/mm] g(f(x))
>
> ich verstehe hierbei nicht warum zu der obigen Aufgabe
> [mm]f:\IR \to \IR,[/mm] x [mm]\to 1-x^2, g:[0,\infty] \to \IR,[/mm] y [mm]\to \wurzel{y}[/mm]
>
> g [mm]\circ[/mm] f:[-1,1] [mm]\to \IR[/mm] und nicht g [mm]\circ f:\IR \to \IR[/mm]
Weil für [mm] $x\notin [/mm] [-1;1]$ ist $f(x)<0$ und daher [mm] $g(f(x))=\sqrt{f(x)}$ [/mm] nicht definiert.
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Okay das leuchtet ein =)
wie wäre denn bitte der Definitionsbereich und der Wertebereich definiert für f [mm] \circ [/mm] g oder geht das in diesem Fall nicht???
MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 11.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst Abbildungen nur dann komponieren (Hintereinanderschalten), wenn der Wertebereich der ersten Funktion eine Teilmenge des Defbereichs der zweiten Funktion ist.
Nimm mal:
[mm] f:D_{f}\to W_{f} [/mm] und [mm] g:D_{g}\to W_{g}
[/mm]
Dann kann ich
[mm] f\circ{g}\underbrace{=g(f(x))}_{\text{Schulschreibweise}}
[/mm]
nur bilden, wenn [mm] D_{f}\subseteq{W_{g}}
[/mm]
Marius
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Super das ist mal Verständlich =)
nehmen wir jetzt mal
f:{-2,-1,0,1,2} [mm] \to \IN, [/mm] n [mm] \to n^2
[/mm]
[mm] h:\IN \to \IN, [/mm] n [mm] \to [/mm] n+1
es soll nun die Komposition h [mm] \circ [/mm] f gebildet werden.
Wenn ich das also mit deiner Erklärung anwende und richtig verstanden habe, ist hierbei h die erste und f die zweite Funktion
[mm] \Rightarrow [/mm] Wertebereich von h ist [mm] \IN, [/mm] Definitionsbereich von f ist {-2,-1,0,1,2} Aber wie sieht es jetzt mit der Teilmenge aus??? Es ist doch nun so, dass {-2,-1,0,1,2} Teilmenge von [mm] \IN [/mm] ist. Das wäre doch dann aber anders ausgedrückt, der Definitionsbereich der zweiten Funktion ist Teilmenge des Wertebereichs der ersten Funktion. Oder ist das Äquivalent zu der Wertebereich der ersten Funktion ist eine Teilmenge des Definitionsberecihs der zweiten Funktion???
MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mo 11.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Super das ist mal Verständlich =)
Sehr gut.
>
> nehmen wir jetzt mal
> f:{-2,-1,0,1,2} [mm]\to \IN,[/mm] n [mm]\to n^2[/mm]
> [mm]h:\IN \to \IN,[/mm] n [mm]\to[/mm]
> n+1
>
> es soll nun die Komposition h [mm]\circ[/mm] f gebildet werden.
> Wenn ich das also mit deiner Erklärung anwende und richtig
> verstanden habe, ist hierbei h die erste und f die zweite
> Funktion
Yep, so ist es. Du suchst h(f(x))
> [mm]\Rightarrow[/mm] Wertebereich von h ist [mm]\IN,[/mm] Definitionsbereich
> von f ist {-2,-1,0,1,2}
Korrekt
Aber wie sieht es jetzt mit der
> Teilmenge aus??? Es ist doch nun so, dass {-2,-1,0,1,2}
> Teilmenge von [mm]\IN[/mm] ist. Das wäre doch dann aber anders
> ausgedrückt, der Definitionsbereich der zweiten Funktion
> ist Teilmenge des Wertebereichs der ersten Funktion. Oder
> ist das Äquivalent zu der Wertebereich der ersten Funktion
> ist eine Teilmenge des Definitionsberecihs der zweiten
> Funktion???
Das ist nicht aquivalent. Merk dir einfach, dass der Wertebereich der ersten Funktion in den Def-Bereich der zweiten Funktion "passen" muss, damit man überhaupt die Verknüpfung bilden kann.
So wäre z.B die Verknüpfung der Funktionen [mm] f(x)=5*\wurzel{x} [/mm] und g(x)=-x² nur in einer Richtung möglich, nämlich [mm] g(f(x))=-(5*\wurzel{x})²
[/mm]
[mm] f(g(x))=5*\wurzel{-x²} [/mm] funktioniert dagegen nicht. (zumindest in [mm] \IR [/mm] - in [mm] \IC [/mm] würde das schon wieder funktionieren)
> MFG domenigge135
Marius
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Klasse dann habe ich das jetzt verstanden.
MFG domenigge135
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Hallo. Mir fällt leider doch noch etwas auf. Also zunächst einmal sagst du ja, dass ich mir merken soll, dass der Wertebereich der ersten Funktion in den Def-Bereich der zweiten Funktion "passen" muss, damit man überhaupt die Verknüpfung bilden kann.
Als Beispiel hast du ja nun z.B die Verknüpfung der Funktionen [mm] f(x)=5\cdot{}\wurzel{x} [/mm] und [mm] g(x)=-x^2 [/mm] und du sasgt, dass ja nun nur die Verknüpfung g [mm] \circ [/mm] f davon gebildet werden kann.
Also als erstes würde ich nun an die Aufgabe folgendermaßen herangehen.
Ich benötige ja, um deine Merkregel anwenden zu können, den Wertebereich und Definitionsbereich beider Funktionen wir betrachten die Funktionen ohne den Zahlenbereich [mm] \IC.
[/mm]
[mm] f(x)=5\cdot{}\wurzel{x}. [/mm] Diese Funktion hat den Definitionsbereich [mm] \IN [/mm] und den Wertebereich [mm] \IN
[/mm]
[mm] g(x)=-x^2. [/mm] Diese Funktion hat den Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] und den Wertebereich [mm] \IR
[/mm]
g [mm] \circ [/mm] f = (g [mm] \circ [/mm] f) (x) = g(f(x)) diese Komposition passt, da ja [mm] \IN [/mm] ohne Probleme in [mm] \IR [/mm] passt. [mm] \Rightarrow [/mm] g(f(x)) = [mm] -(5\cdot{}\wurzel{x})²
[/mm]
f [mm] \circ [/mm] g = (f [mm] \circ [/mm] g) (x) = f(g(x)) diese Komposition passt nicht, da ja [mm] \IR [/mm] schwer in [mm] \IN [/mm] passen kann.
So hätte ich das jetzt auf anhieb erklärt. Hoffe das geht in Ordnung.
MFG domenigge135
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> Als Beispiel hast du ja nun z.B die Verknüpfung der
> Funktionen [mm]f(x)=5\cdot{}\wurzel{x}[/mm] und [mm]g(x)=-x^2[/mm] und du
> sasgt, dass ja nun nur die Verknüpfung g [mm]\circ[/mm] f davon
> gebildet werden kann.
>
> Also als erstes würde ich nun an die Aufgabe folgendermaßen
> herangehen.
> Ich benötige ja, um deine Merkregel anwenden zu können,
> den Wertebereich und Definitionsbereich beider Funktionen
> wir betrachten die Funktionen ohne den Zahlenbereich [mm]\IC.[/mm]
>
> [mm]f(x)=5\cdot{}\wurzel{x}.[/mm] Diese Funktion hat den
> Definitionsbereich [mm]\IN[/mm] und den Wertebereich [mm]\IN[/mm]
Hallo,
Den Definitionsbereich kannst Du natürlich so festlegen, wenn Dir danach zumute ist. Der maximale Definitionsbereich allerdings wäre [mm] \IR_{+}.
[/mm]
Der Wertebereich ist ganz gewiß nicht [mm] \IN. [/mm] Sondern?
> [mm]g(x)=-x^2.[/mm] Diese Funktion hat den Definitionsbereich [mm]\IR[/mm]
> und den Wertebereich [mm]\IR[/mm]
Ja.
Das Bild von [mm] \IR [/mm] unter der Funktion ist aber [mm] \IR_{-}, [/mm] und das macht Dir bei der Verknüpfung [mm] f\circ [/mm] g ein Problem.
> f [mm]\circ[/mm] g = (f [mm]\circ[/mm] g) (x) = f(g(x)) diese Komposition
> passt nicht, da ja [mm]\IR[/mm] schwer in [mm]\IN[/mm] passen kann.
Weil f für negative Zahlen nicht definiert ist, kann man diese Verknüpfung nicht bilden.
Gruß v. Angela
P.S.: Bitte mach Dir mal klar, was [mm] \IN, \IZ, \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] sind.
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Okay also mit deinem Zitat:
Merk dir einfach, dass der Wertebereich der ersten Funktion in den Def-Bereich der zweiten Funktion "passen" muss, damit man überhaupt die Verknüpfung bilden kann.
Komme ich aber bei der Komposition von [mm] g:[0,\infty[ \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] |x|-1 mit [mm] g^{-1}:[-1,\infty[ \to [0,\infty[, [/mm] y [mm] \to [/mm] y+1 ganz schön ins schleudern.
Der Werteberecih von g ist ja [mm] \IR [/mm] und der Definitionsbereich von [mm] g^{-1} [/mm] ist ja [mm] [-1,\infty[.
[/mm]
[mm] \IR [/mm] ist aber keine Teilmenge von [mm] [-1,\infty[. [/mm] Höchstens die Obermenge. Aber eine Komposition kann ich nach Aussage meines Tutors trotzdem bilden. Warum???
MFG domenigge135
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Hey!
> Okay also mit deinem Zitat:
>
> Merk dir einfach, dass der Wertebereich der ersten Funktion
> in den Def-Bereich der zweiten Funktion "passen" muss,
> damit man überhaupt die Verknüpfung bilden kann.
>
> Komme ich aber bei der Komposition von [mm]g:[0,\infty[ \to \IR,[/mm]
> x [mm]\to[/mm] |x|-1 mit [mm]g^{-1}:[-1,\infty[ \to [0,\infty[,[/mm] y [mm]\to[/mm]
> y+1 ganz schön ins schleudern.
> Der Werteberecih von g ist ja [mm]\IR[/mm]
Gucke dir nochmal genau an, welche Werte g auch wirklich annimmt! Es gilt nämlich hier [mm] W_g=[-1,\infty). [/mm]
Man schreibt nur meistens [mm] \IR, [/mm] da es in der Regel nicht wichtig ist den Wertebereich exakt zu kennen und er auch nicht immer so einfach "auszurechnen" ist.
> und der
> Definitionsbereich von [mm]g^{-1}[/mm] ist ja [mm][-1,\infty[.[/mm]
> [mm]\IR[/mm] ist aber keine Teilmenge von [mm][-1,\infty[.[/mm] Höchstens
> die Obermenge. Aber eine Komposition kann ich nach Aussage
> meines Tutors trotzdem bilden. Warum???
>
> MFG domenigge135
Grüße Patrick
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