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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:16 Mo 23.05.2005 | | Autor: | LOLO |
Hallo Leute,
ich hab hier eine Lösung für folgende Aufgabe, aber leider weiß ich im letzten Schritt nicht, wie es genau weiter geht,mir fehlt der springende Punkt, und bitte deshalb um Tipps.
Die Aufgabe lautet erstmal so:
man hat eine Fkt. z: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] mit z(x) = [mm] f(g(x^{3},x),h(x^{2})) [/mm] mit f,g,h ableitbar. Mann soll jetzt die Ableitung von z nach x durch die Ableitungen von f,g, h auf zwei Arten ausdrücken:
1) Variante: die Abb. z soll als Komposition von x [mm] \to (x^{3},x,x^{2}), [/mm] (a,b,c) [mm] \to [/mm] (g(a,b),h(c)) und (u,v) [mm] \to [/mm] f(u,v) gehschrieben werden. Dann sollen diese BAusteine linearisiert werden und dann mit der Kettenregel verknüpft werden.
Hierzu bin ich folgendermaßen vorgegangen:
Gesucht ist ja das D z(x), und z(x) = [mm] (f*g(x^{3},x), f*h(x^{2}). [/mm] Ich nenne die drei Bausteine
[mm] a_{1} [/mm] : x [mm] \to (x^{3},x,x^{2})
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] :(a,b,c) [mm] \to [/mm] (g(a,b),h(c))
[mm] a_{3} [/mm] :(u,v) [mm] \to [/mm] f(u,v)
Also ist [mm] z(x)=(x^{3},x,x^{2}) [/mm] = [mm] (g(x^{3},x),h(x^{2}))=f(g(x^{3},x),h(x^{2})) [/mm] nach den drei Bausteinen.
Also ist z(x) [mm] =(a_{1}*a_{2}*a_{3})(x).
[/mm]
So ist es doch oder? Ich denke schon...
Dann habe ich die einzelen Bausteine lienearisiert:
a'_{1} = [mm] 3x^{2} [/mm] dx + 1 dx +2x dx
[mm] a'_{2}(x^{3},x,x^{2}) [/mm] = [mm] (g(x^{3},x),h(x^{2}))'= g'(x^{3},x)(3x^{2} [/mm] dx + 1 [mm] dx)+h'(x^{2}) [/mm] 2x dx
[mm] a'_{3}=(g(x^{3},x),h(x^{2}))=(f(g(x^{3},x),h(x^{2})))'= f'(g(x^{3},x),h(x^{2}))(g'(x^{3},x)(3x^{2} [/mm] dx, 1 dx)+ [mm] h'(x^{2}) [/mm] 2x dx.
Jetzt weiß ich nicht, was in der Aufgabenstellung mit "Verknüpfung durch Kettenregel" gemeint ist. Wie geht es hier bitte weiter?
Ich danke für die Hilfe.
LOLO
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