Komposition von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 So 13.01.2008 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | | Seien I, J Intervalle, g: I [mm] \to \IR [/mm] sei gleichmäßig stetig auf I, f: J [mm] \to \IR [/mm] sei gleichmäßig stetig auf J und g(I) [mm] \subset [/mm] J. Zeigen Sie, dass dann die Komposition f [mm] \circ [/mm] g gleichmäßig stetig ist auf I. |
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Hallo,
Was ich mir bisher überlegt habe zum Beweis:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig.
Dann [mm] \exists [/mm] ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit x,y [mm] \in [/mm] I mit [mm] |x-y|<\delta [/mm] ,s.d.g. [mm] |g(x)-g(y)|<\varepsilon
[/mm]
Jetzt muss ich also noch zeigen es ex. ein [mm] \mu [/mm] ,so dass für [mm] |g(x)-g(y)|<\mu [/mm] gilt |f [mm] \circ [/mm] g (x) - f [mm] \circ [/mm] g (y) | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber wieso sollte es genau so ein [mm] \mu [/mm] geben? Vermutlich ist es schwer das über diesen Weg zu beweisen..
Gibt es noch ein anderes Kriterium mit dem ich das Beweisen könnte?
Oder bedeuted gleichmäßige Stetigkeit, dass ich mir ein beliebiges [mm] \delta [/mm] oder [mm] \mu [/mm] aussuchen kann, und für alle x,y aus dem Intervall sind die Bilder kleiner als [mm] \epsilon [/mm] ?
Vielen dank, das du dir die Mühe gemacht hast, meine Frage zu lesen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 So 13.01.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
Gesucht ist ein [mm] \overline{\delta}, [/mm] sd [mm] \forall\overline{\epsilon} [/mm] und [mm] \forall [/mm] x, [mm] y\in [/mm] I [mm] \subset [/mm] J gilt: [mm] |f(g(x))-f(g(y))|\le\overline{\epsilon}, [/mm] solange [mm] |g(x)-g(y)|\le\overline{\delta}.
[/mm]
Man weiß, dass [mm] \exists \delta, [/mm] sd. [mm] |f(x)-f(y)|\le\epsilon, [/mm] solange [mm] |x-y|\le\delta [/mm] und zwar [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in J\supset [/mm] I und [mm] \forall\epsilon.
[/mm]
Sei nun [mm] \overline{\epsilon} [/mm] vorgegeben. Dann setzt man [mm] \overline{\delta}:=\delta [/mm] und es gilt [mm] |f(g(x))-f(g(y))|\le\epsilon=:\overline{\epsilon}, [/mm] solange [mm] |g(x)-g(y)|\le\overline{\delta}.
[/mm]
Jetzt muss man nur die Frage beantworten: kann [mm] |g(x)-g(y)|\le\overline{\delta} [/mm] überhaupt gelten und zwar für alle x, y in I? Vielleicht ist [mm] \overline{\delta} [/mm] viel zu klein und g wächst sehr schnel am Rande des Intervals I? Das kann aber nicht sein, da g gleichmäßig stetig ist, d.h. für alle [mm] \overline{\delta}=:\epsilon_{g} [/mm] und alle x, y [mm] \in [/mm] I ist ein [mm] \delta_{g} [/mm] zu finden, sd [mm] |g(x)-g(y)|\le\overline{\delta}=:\epsilon_{g}, [/mm] solange [mm] |x-y|\le\delta_{g}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 So 13.01.2008 | | Autor: | Ninjoo |
Ja Genau :D!
Dieses Argument habe ich gesucht!!
Vielen Dank!
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