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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Mi 31.10.2012 | | Autor: | kosmo |
| Aufgabe | Seien A, B, C Mengen und f : A → B, h: A → C Funktionen.
Wir betrachten die Gleichung y ◦ f = h. (1)
Eine Lösung von (1) ist eine Funktion g : B → C so dass g ◦ f = h.
Lösen Sie (1) für die folgenden Funktionen (d.h. finden Sie eine Funktion g):
a) f, h: [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR [/mm] mit f(x) = 1 − x und h(x) = [mm] x^2 [/mm] − 3x + 2
b) f : [1, +∞) → [2, +∞), h: [1, +∞) → [mm] \IR [/mm] mit f(x) = 1 + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und h(x) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Zeigen Sie nun, dass (1) genau eine Losung hat, falls ¨ f bijektiv ist. |
Hallo Allerseits,
Ich habe viele Informationen in Lehrbüchern und Online gefunden wie ich eine Funktion h finde - die Funktion g - mit gegebenem f und h zu finden habe ich jedoch noch nirgendwo ansatzweise gefunden.
Meine Frage - ganz für den Anfang - ist erstmal, wie stelle ich die Gleichung (1) auf g um?
Ist es einfach g = f ◦ h,
bzw. wie sind hier die Regeln?
Ich hatte anfangs einfach f(x) = h(x) gesetzt und dabei 0 = [mm] (x-1)^2 [/mm] herausbekommen, aber die Funktion zur Nullstelle ist sicherlich nicht das gewünschte Ergebnis, oder?
Vielen Dank für Eure Anregungen und Hilfestellungen,
Andreas
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Seien A, B, C Mengen und f : A → B, h: A → C
> Funktionen.
> Wir betrachten die Gleichung y ◦ f = h. (1)
>
> Eine Lösung von (1) ist eine Funktion g : B → C so dass
> g ◦ f = h.
>
> Lösen Sie (1) für die folgenden Funktionen (d.h. finden
> Sie eine Funktion g):
>
> a) f, h: [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR[/mm] mit f(x) = 1 − x und h(x) = [mm]x^2[/mm] −
> 3x + 2
> b) f : [1, +∞) → [2, +∞), h: [1, +∞) → [mm]\IR[/mm] mit
> f(x) = 1 + [mm]\bruch{1}{x}[/mm] und h(x) = [mm]x^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Zeigen Sie nun, dass (1) genau eine Losung hat, falls ¨ f
> bijektiv ist.
> Hallo Allerseits,
>
> Ich habe viele Informationen in Lehrbüchern und Online
> gefunden wie ich eine Funktion h finde - die Funktion g -
> mit gegebenem f und h zu finden habe ich jedoch noch
> nirgendwo ansatzweise gefunden.
>
> Meine Frage - ganz für den Anfang - ist erstmal, wie
> stelle ich die Gleichung (1) auf g um?
>
> Ist es einfach g = f ◦ h,
> bzw. wie sind hier die Regeln?
>
> Ich hatte anfangs einfach f(x) = h(x) gesetzt und dabei 0
> = [mm](x-1)^2[/mm] herausbekommen, aber die Funktion zur Nullstelle
> ist sicherlich nicht das gewünschte Ergebnis, oder?
Hallo Andreas,
es ist einfach so, dass die Gleichung g [mm] \circ [/mm] f = h
(für gegebene Funktionen f und h mit übereinstim-
menden Definitionsbereichen) sich nicht allgemein
nach g auflösen lässt.
Wende dich also zuerst einfach mal den vorgeschlagenen
Beispielen zu.
Ist allerdings f bijektiv, so hat ja eben f eine
Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] , und in diesem Fall lässt sich
die Gleichung auflösen, indem man ihren beiden Seiten
rechts einen Faktor [mm] f^{-1} [/mm] hinzu multipliziert.
LG Al-Chwarizmi
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