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Habe bei dieser Aufgabe schon verschiedene Versuche unternommen, doch steh ich immer vor dem gleichen Problem.
Aufgabe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n+4}{n^{2}-3n+1}
[/mm]
Bisher versucht:
Majorantenkriterium - hierbei weiß ich nicht was ich mit dem minus machen soll...?
Qutiontenkriterium - führt zu [mm] \bruch{n^{3}+2n^{2}-14n+5}{n^{3}+3n^{2}+5n-4}
[/mm]
Es wäre echt super, wenn ich noch ne Antwort bekommen könnte, da ich am fr. klausur schreibe und mich diese aufgabe echt fuchst. Danke
MfG
bastian unger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 26.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo bastian
was sich hier anbietet ist die divergenz mittels minoranten-kriterium zu zeigen. z.b. gilt [m] \bruch{n+4}{n^{2}-3n+1} > \frac{1}{n} [/m] für [m] n \geq 3 [/m] und [m] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} [/m] ist ja (bekantermaßen?) divergent!
grüße
andreas
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Do 27.01.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin, mich interressiert auch die Frage.
und wie zeige ich genau, dass
[m]\bruch{n+4}{n^{2}-3n+1} > \frac{1}{n}[/m] für [m]n \geq 3[/m]?
Reicht zu sagen, dass dann der Zähler sowieso größer als 1 ist und man ja auch wirklich sieht, dass der Nenner größer ist weil [mm] n^{2}-3n+1 [/mm] > n für n [mm] \geq [/mm] 3.
Oder müsste ich das mit Induktion zeigen was ja nicht schwer wäre aber zeitaufwendig in einer Klausur(zb. morgen)?
Danke für die Antwort.
Grüsse Shaguar
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Hallo, Shaguar
für n > 3 gilt [mm] $n^2 [/mm] - 3n + 1 > 0$ denn [mm] $n^2 [/mm] - 3n + 1 = (n - [mm] 3/2)^2 [/mm] - 5/4)$
somit
darf für diesen fall die Ungleichung mit [mm] $n*(n^2 [/mm] - 3n +1)$ multipliziert werden
ohne daß sich auf der einen oder anderen Seite das Vorzeichen ändert
und das ">" nicht mehr stimmen würde.
also $n*(n+4) > [mm] n^2 [/mm] - 3n + 1 [mm] \,\gdw\, [/mm] 4n > -3n + 1$
womit
die Richtigkeit der Ausgangsungleichung bestätigt ist
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