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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:01 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei ||.|| eine Vektornorm in [mm] \mathbb{K}^n, ||.||_M [/mm] die induzierte Matrixnorm in [mm] \mathbb{K}^{n\times n} [/mm] und A [mm] \in \mathbb{K}^{n\times n} [/mm] invertierbar
Konstruieren Sie Vektoren b und [mm] \Delta [/mm] b in [mm] \mathbb{K}^n [/mm] sodass in unten stehender Ungleichung Gleichheit herscht:
[mm] \frac{||\Delta x||}{||x||} \le K_M(A) [/mm] * [mm] \frac{||\Delta b||}{||b||}
[/mm]
wobei [mm] K_M(A):=||A||_M ||A^{-1}||_M [/mm] die Kondition von A ist |
Hallo,
Theorie dazu:
Im Allgemeinen Fall wenn ||.|| veträglich mit [mm] ||.||_M:
[/mm]
Schauen wir uns ein gestörtes Gleichungssystem [mm] A(x+\Delta [/mm] x)=b + [mm] \Delta [/mm] b zu dem linearen Gleichungssystem Ax=b an.
x + [mm] \Delta [/mm] x [mm] =A^{-1} [/mm] (b + [mm] \Delta [/mm] b)= [mm] A^{-1} [/mm] b + [mm] A^{-1} \Delta [/mm] b = x + [mm] A^{-1} \Delta [/mm] b [mm] \Rightarrow \Delta [/mm] x = [mm] A^{-1} \Delta [/mm] b
[mm] \frac{||\Delta x||}{||x||} =\frac{|| A^{-1} \Delta b||}{||x||} \le \frac{||A^{-1}||_M ||\Delta b||}{||x||} [/mm] * [mm] \frac{||Ax||}{||b||} \le ||A^{-1}||_M* ||\Delta [/mm] b|| [mm] ||A||_M [/mm] * [mm] \frac{1}{||b||} [/mm] = [mm] K_M(A) \frac{||\Delta b||}{||b||}
[/mm]
Nun ist die Frage: Für welche b, [mm] \Delta [/mm] b ist die Kondition gleich dem Verhältnis der relativen Fehler??
Nun zum Bsp:
Ich könnte [mm] \Delta b\not=0 [/mm] so wählen, dass [mm] ||A^{-1}||_M=\frac{||A^{-1} \Delta b||}{||\Delta b||}= \sup_{s \not=0} \frac{||A^{-1} s||}{||s||}
[/mm]
[mm] \frac{||\Delta x||}{||x||} [/mm] * [mm] \frac{||b||}{||\Delta b||}= \frac{||Ax||}{||x||}* \frac{||A^{-1} \Delta b||}{||\Delta b||}= \frac{||b||}{||x||}*||A^{-1}||_M
[/mm]
Aber nun würde eine Ungleichung entstehen wenn ich die verträglichkeit der Norm ausnützen möchte..Ich weiß zwar die Operatornorm ist unter allen mit der Vektornorm ||.|| veträglichen Matrixnormen die kleinste Matrixnorm aber das hilft mir auch nicht.
Ich könnte Gleichheit erreichen wenn ich die Norm von b festlege durch ||b||= [mm] ||A||_M||x|| [/mm] aber ich glaube nicht, dass dies im Sinne des Aufgabenstellers(Buch:Bourgeois-Grundlagen der Numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens) war oder?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 04.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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