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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Kondition der Standardoperationen Multiplizieren, Dividieren und Wurzel ziehen. |
Hallo!
Zu obiger Frage zunächst eine allgemeine Frage: "Berechnen Sie die Kondition"... ist die relative oder absolute Kondition gemeint? Ich nehme an, die relative, zumindest war bei Wikipedia bei einem Beispiel nur diese aufgeführt.
Nun habe ich versucht, die Aufgabe mit der Multiplikation zu lösen, aber ich glaube, das Ergebnis ist falsch. Könntet ihr meine Rechnungen überprüfen?
Wir haben definiert: $F:X\to Y$ Abbildung, dann ist
$K_{abs}(x) = \sup\left\{\frac{\parallel F(x+\delta x)-F(x)\parallel}{\parallel\delta x\parallel}\Bigg|\delta x \not= 0, x+\delta x\in X\right\}$
$K_{rel}(x) = \sup\left\{(\frac{\parallel F(x+\delta x)-F(x)\parallel)/\parallel F(x)\parallel}{\parallel\delta x\parallel / \parallel x \parallel}\Bigg|\delta x \not= 0, x+\delta x\in X\right\}$
Nun habe ich mich an der Standard-Operation "Multiplikation" versucht: Dann ist $F(x_{1},x_{2}) = x_{1}*x_{2}$, d.h. $x = \vektor{x_{1}\\x_{2}}$. Ich denke, dass $\parallel\cdot\parallel$ dann die euklidische Norm ist.
Nach unserer Herleitung durch Entwicklung der Taylor-Reihe von $F(x + \delta x)$ kann man folgende Ungleichung benutzen:
$\frac{\parallel F(x+\delta x)-F(x)\parallel}{\parallel\delta x\parallel} \le \parallel \nabla F(x)\parallel + \mathcal{O}(\parallel \delta x \parallel)$
Hier ist
$\nabla F(x) =\vektor{x_{2}\\x_{1}}$, also $\parallel \nabla F(x) \parallel=\left\|\vektor{x_{2}\\x_{1}}\right\| = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$.
$\Rightarrow\frac{\parallel F(x+\delta x)-F(x)\parallel}{\parallel\delta x\parallel} \le \parallel \nabla F(x)\parallel + \mathcal{O}(\parallel \delta x \parallel) = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + \mathcal{O}(\parallel \delta x \parallel)$
Damit wäre $K_{abs} = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$ ?
Wenn ich nun noch die relative Kondition basierend auf der absoluten Kondition berechne (darf ich das eigentlich so pauschal?, in der Vorlesung haben wir es zwar gemacht, aber das Supremum könnte doch dann ein anderes sein?)
$K_{rel} = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}*\frac{\parallel x \parallel}{\parallel F(x) \parallel} = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}*\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}{\parallel x_{1}\parallel*\parallel x_{2}\parallel} = \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{\parallel x_{1}\parallel*\parallel x_{2}\parallel}$.
Damit wäre die Multiplikation für x_{1}\to 0 oder x_{2}\to 0 schlecht konditioniert. Ich glaube aber, dass ich irgendetwas falsch gemacht habe, weil ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ein völlig anderes Ergebnis (und auch andere Teilschritte) hat, nämlich dass die relative Konditionszahl 2 ist und somit die Multiplikation überall gut konditioniert.
Könnte ihr mir sagen, was ich falsch mache?
Danke und Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
Wenn man nach Deiner Definition vorgeht hast Du keinen Fehler gemacht. Es interessieren aber praktisch nur die Fehler die aus [mm]\delta x_1[/mm] und [mm]\delta x_2[/mm]. Summiert man diese um die Gesamtkondition zu bestimmen erhält man die 2. Ich denke im Numerik-Buch von H.R.Schwarz wird dieser Ansatz gewählt. Das die Multiplikation gut konditioniert ist sollte m.M.n. auch rauskommen, da das rein praktisch so ist.
Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
danke für deine Antwort! Also habe ich zumindest schon mal nicht falsch gerechnet...
> Es interessieren aber praktisch nur die
> Fehler die aus [mm]\delta x_1[/mm] und [mm]\delta x_2[/mm]. Summiert man
> diese um die Gesamtkondition zu bestimmen erhält man die
> 2.
D.h. die relative Kondition?
> Ich denke im Numerik-Buch von H.R.Schwarz wird dieser
> Ansatz gewählt. Das die Multiplikation gut konditioniert
> ist sollte m.M.n. auch rauskommen, da das rein praktisch so
> ist.
Was ist dann aber an meinen Definitionen usw. nicht okay? Wie muss ich es sonst machen?
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
Du hast ja bereits die Taylorentwicklung zur Fehlerabschätzung benutzt.
Wenn Du also für
[mm] $F(x+\delta [/mm] x)-F(x)$
Die Taylorentwicklung einsetzt und Fehlerterme höherer Ordnung wegläßt, kannst Du den absoluten Fehler auch in Abhängigkeit von [mm] $\delta x_1$ [/mm] und [mm] $\delta x_2$ [/mm] hinschreiben. Dann mußt Du noch so umformen, das links Fehler von F durch F dasteht und rechts entsprechend irgenwas mal [mm] $\frac{\delta x_1}{x_1}$ [/mm] und irgendwas mal [mm] $\frac{\delta x_2}{x_2}$.
[/mm]
Alternativ kannst Du Dich natürlich, falls ihr nur diese Konditionsdefintion in der Vorlesung hattet auf diese berufen und sagen: "Nach der ist es schlecht konditioniert". Der Haken an deiner Definition ist das der Fehler bei Gleitkommaarithmetik nicht im Vektor entsteht also [mm] $\frac{|\delta x|}{|x|}$ [/mm] zu betrachten wäre, sondern in den Einzelkomponenten. Wenn ich 1000 mal 0,001 multiplizieren würde und [mm] $\delta x_1$ [/mm] und [mm] $\delta x_2$ [/mm] jeweils 0,1 wäre nach deiner Definition der relative Fehler in x gering Das ergebnis aber Grütze.
Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
danke für deine erneute Antwort!
Ich habe mal versucht, mir klar zu machen, warum das mit den Einzelkomponenten so ist. Eigentlich ist doch die Kondition so etwas wie die Steigung der betrachteten Funktion, oder (nur so ganz übertragen)? Und natürlich kann es sein, dass die Steigung in [mm] x_{1} [/mm] - Richtung ziemlich groß ist (z.B. 10), aber durch die Steigung der [mm] x_{2}-Richtung, [/mm] die gerade 0.1 ist, wieder "neutralisiert" wird, weil der Gesamt-Gradient praktisch wieder langsam ansteigt. Deswegen muss man die Komponenten einzeln betrachten?
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Das hier haben wir uns in der Vorlesung zu der Kondition der Addition aufgeschrieben. Würde das bestätigen, dass wir mit einer "falschen" Kondition rechnen?:
$y = [mm] F(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}$
[/mm]
$x = [mm] (x_{1},x_{2})^{T}, \delta [/mm] x = [mm] (\delta x_{1},\delta x_{2})^{T}$
[/mm]
[mm] $F(x+\delta [/mm] x) = F(x) + [mm] \nabla [/mm] F(x) [mm] \circ \delta [/mm] x + [mm] \mathcal{O}(||\delta x||^{2})$
[/mm]
[mm] $\gdw |F(x+\delta [/mm] x)-F(x)| [mm] \le |\nabla [/mm] F(x) [mm] \circ \delta [/mm] x| + [mm] \mathcal{O}(||\delta x||^{2})$
[/mm]
Mit der Cauchy-Schwarz-Ungl.
[mm] $\gdw |F(x+\delta [/mm] x)-F(x)| [mm] \le ||\nabla F(x)||*||\delta [/mm] x|| + [mm] \mathcal{O}(||\delta x||^{2})$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{|F(x+\delta x)-F(x)|}{||\delta x ||} \le ||\nabla [/mm] F(x)|| + [mm] \mathcal{O}(||\delta [/mm] x||)$
In unserem Fall ist [mm] $||\nabla [/mm] F(x)|| = [mm] \sqrt{2}$, [/mm] d.h.
[mm] $\gdw \frac{|F(x+\delta x)-F(x)|}{||\delta x ||} \le \sqrt{2} [/mm] + [mm] \mathcal{O}(||\delta [/mm] x||)$
Und damit
[mm] $K_{abs} \overset{\circ}{=} \sqrt{2}$
[/mm]
Entsprechend
[mm] $K_{rel} \overset{\circ}{=} \sqrt{2}*\frac{||x||}{|x_{1}+x_{2}|}$
[/mm]
Für [mm] $x_{1}\approx -x_{2}: |x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}| [/mm] < < ||x|| = [mm] \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}$ [/mm] ist Kondition groß!
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Stefan,
Die absolute Kondition kannst Du Dir mit der Steigung erklären. Die relative nicht so einfach. Kondition sagt ja aus, wie sich ein Fehler der Eingangsdaten auf das Ergebnis überträgt. Das mit der "falschen" Kondition war nicht ganz so eng gemeint. Mehr so wie für die Multiplikation kommt hier ein verwirrendes Ergebnis raus. Man kann auch mit der so definierten Kondition rechnen und tut das auch. Für die Multiplikation würde ich aber eher folgende Rechnung ansetzen:
[mm](x_1+\delta x_1)(x_2+\delta x_2) \approx x_1 x_2 + x_2\delta x_1+x_1*\delta x_2[/mm]
[mm]\frac{(x_1+\delta x_1)(x_2+\delta x_2) - x_1 x_2}{x_1 x_2} \approx \frac{x_2x_1\frac{\delta x_1}{x_1}+x_1x_2\frac{\delta x_2}{x_2}}{x_1 x_2}=\frac{\delta x_1}{x_1}+\frac{\delta x_2}{x_2}[/mm]
Das meinte ich mit "relativen Fehler der Einzelkomponenten betrachten"und so kommt man auch auf eine Kondition von 2. [mm] \frac{\delta x_1}{x_1} [/mm] und [mm] \frac{\delta x_2}{x_2} [/mm] sind dann der unvermeidliche Fehler bei Gleitkommarechnung der durch Rundung der Eingangsdaten entsteht oder die Maschinengenauigkeit.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
danke nochmal für die Infos 
Die Variante, die du gezeigt hast, haben wir gestern in der Vorlesung behandelt.
Grüße,
Stefan
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