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Forum "Uni-Numerik" - Konditionszahlen f(x1,x2)
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Konditionszahlen f(x1,x2): Lösungsvorschlag
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:57 Fr 20.06.2008
Autor: determinante

Aufgabe
Bestimmen Sie die relativen und absoluten Konditionszahlen bei der Funktionsauswertung von [mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] (x_1 [/mm] - [mm] x_2)/x_1. [/mm]

Bei welchen Werten für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ist das Problem schlecht konditioniert?

Hallo,

bei genannter Aufgabe komme ich nicht so richtig weiter. Vielleicht kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen bzw. ich mit eurer Hilfe zu einer guten Lösung gelangen :-)

Die Formeln für die relative und absolute Konditionszahl ist mir bekannt. Ich habe daher die erste Ableitung gebildet.

Ich habe erhalten:

1. Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] * [mm] x_1^-2 [/mm]
1. Ableitung nach [mm] x_2 [/mm] = [mm] -1/x_2 [/mm]

Untersuche ich jetzt die 2 Ableitungen getrennt in den bekannten Formeln für relative und absolute Konditionszahl? Wie muss ich nun weiter vorgehen?


        
Bezug
Konditionszahlen f(x1,x2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Fr 20.06.2008
Autor: djmatey

Hallo,

bei der Ableitung nach [mm] x_{2} [/mm] muss im Nenner [mm] x_{1} [/mm] stehen.

LG djmatey

Bezug
                
Bezug
Konditionszahlen f(x1,x2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:26 Fr 20.06.2008
Autor: determinante

Danke für den Hinweis - ich hatte mich hier verschrieben :-) Auf meinem Blatt Papier hatte ich [mm] x_1 [/mm] stehen.

Bezug
        
Bezug
Konditionszahlen f(x1,x2): Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Fr 20.06.2008
Autor: barsch

Hi,

meiner Meinung nach, sind zuerst die Verstärkungsfaktoren zu berechnen.

Es sei [mm] f(x_1,x_2)=\bruch{x_1-x_2}{x_1}, [/mm] dann gilt für die Verstärkungsfaktoren:

[mm] f_{x_1}(x_1,x_2)=\bruch{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_1,x_2)*\bruch{x_1}{f(x_1,x_2)}=... [/mm]

Analog:

[mm] f_{x_2}(x_1,x_2)=\bruch{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_1,x_2)*\bruch{x_2}{f(x_1,x_2)}=... [/mm]

[mm] K_{relativ}=max\{|f_{x_1}(x_1,x_2)|,|f_{x_2}(x_1,x_2)|\}. [/mm]

MfG barsch

Bezug
                
Bezug
Konditionszahlen f(x1,x2): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:02 So 22.06.2008
Autor: determinante

Ok, soweit erstmal danke. Den Verstärkungsfaktor benötige ich ja für die Berechnung der relativen Konditionszahl. Du hast am Ende noch eine Max-Formulierung geschrieben - die habe ich bisher noch nie irgendwie in diesem Zusammenhang gelesen.

Mein Problem ist jetzt noch das folgende. Ich habe zwar die Formeln und auch die Funktionen, aber kein Intervall vorgegeben.

Löse ich jetzt die Aufgabe via diversen Fallunterscheidungen oder wie löse ich die geforderte Aufgabenstellung?
Und wie bewerte ich die absolute Konditionszahl? Mache ich da Fallunterscheidungen für jede der zwei Ableitungen?


Bezug
                        
Bezug
Konditionszahlen f(x1,x2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 So 22.06.2008
Autor: barsch

Hi,

> Ok, soweit erstmal danke. Den Verstärkungsfaktor benötige
> ich ja für die Berechnung der relativen Konditionszahl. Du
> hast am Ende noch eine Max-Formulierung geschrieben - die
> habe ich bisher noch nie irgendwie in diesem Zusammenhang
> gelesen.

mhhhh. Dein Ziel ist ja, mit den Verstärkungsfaktoren eine (eventuelle) obere Schranke zu finden. Hat man eine obere Schranke gefunden, so ist das Problem gut konditioniert. Ich will es einmal versuchen vorzurechnen, evtl. wird es dann klarer.

So, der erste Verstärkungsfaktor:

[mm] f_{x_1}(x_1,x_2)=\bruch{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_1,x_2)\cdot{}\bruch{x_1}{f(x_1,x_2)}=\bruch{x_2}{x_1^2}*\bruch{x_1}{\bruch{x_1-x_2}{x_1}}=\bruch{x_2}{x_1^2}*x_1*\bruch{x_1}{x_1-x_2}=\bruch{x_2}{x_1-x_2} [/mm]

Also:

[mm] |f_{x_1}(x_1,x_2)|=|\bruch{x_2}{x_1-x_2}| [/mm]

In vielen Fällen kann man durch Abschätzen eine obere Schranke finden, was mir hier allerdings nicht gelingt.

Bei der Bestimmung des 2. Verstärkungsfaktor kann man auch so vorgehen.

Wir untersuchen im Folgenden einfach mal das Verhalten für [mm] x_1\approx{x_2}. [/mm]

Jetzt steht in der Aufgabe

> Bei welchen Werten für $ [mm] x_1 [/mm] $ und $ [mm] x_2 [/mm] $ ist das Problem schlecht konditioniert?

Sehen wir uns stellvertretend den 1. Vertsärkungsfaktor an:

[mm] |f_{x_1}(x_1,x_2)|=|\bruch{x_2}{x_1-x_2}|\to\infty [/mm] für [mm] x_1\approx{x_2}. [/mm]

Für [mm] x_1\approx{x_2} [/mm] ist das Problem demnach schlecht konditioniert.

Selbes müsste ersichtlich sein, wenn du dir den 2. Vertsärkungsfaktor ansiehst.

Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig weiterhelfen. Meiner Meinung nach keine gute Funktion an der man das exeplarisch gut erklären kann.
Vielleicht hilft dir das weiter []Kondition bei Wikipedia.

MfG barsch

Bezug
                        
Bezug
Konditionszahlen f(x1,x2): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Di 24.06.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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