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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 So 22.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Die folgenden Werte geben die Umsatzsteigerungen (im 1. Quartal 2006, in Tsd. EUR) der Vertreter eines Staubsaugerunternehmens wieder. In der ersten Gruppe sind die sieben Vertreter des norddeutschen Vertriebes, in der zweiten Gruppe die sieben Vertreter des süddeutschen Vertriebes erfasst.
Nord 16 34 13 22 23 25 27
Sued 26 26 19 36 30 29 18
(a) Geben Sie allgemein ein Konfidenzintervall für [mm] \mu_1 [/mm] − [mm] \mu_2 [/mm] zum Niveau [mm] \gamma [/mm] = 1 − [mm] \alpha [/mm] an, falls [mm] (X_1, [/mm] . . . , [mm] X_n) [/mm] mit [mm] X_i [/mm] ~ [mm] N(\mu_1,\sigma^2) [/mm] (Steigerung Nord) und [mm] (Y_1,...,Y_m) [/mm] mit [mm] Y_i [/mm] ~ [mm] N(\mu_2,\sigma^2) [/mm] (Steigerung Süd) unabhängig sind und [mm] \sigma^2 [/mm] bekannt bzw. unbekannt ist.
(b) Testen Sie zum Niveau [mm] \alpha [/mm] = 0.05 die Nullhypothese [mm] H_0 [/mm] : [mm] \mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2 [/mm] gegen [mm] H_1 [/mm] : [mm] \mu_1 \not= \mu_2, [/mm] wobei [mm] \sigma^2 [/mm] unbekannt sei. Interpretieren Sie das Ergebnis. |
Hallo,
bei der vorliegenden Aufgabe klemmt es momentan noch leicht bei mir.
Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz berechnen sich doch durch [mm] \overline{X} \pm z_{1-\bruch{\alpha}{2}} \bruch{\sigma}{\wurzel{n}}
[/mm]
Ich kann also bei der (a) doch je ein Konfidenzintervall für Süd und Nord berechnen. Dann habe ich aber zwei Intervalle, eins für [mm] \mu_1 [/mm] und eins für [mm] \mu_2, [/mm] gesucht ist aber gerade die Differenz zwischen den beiden. Ist es dann korrekt, um das Konfidenzintervall für die Differenz zu bestimmen, einfach die Differenzen der oberen und unteren Werte als Grenzen zu nehmen?
Es soll auch das Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz bestimmt werden - wird hierbei einfach die Stichprobenvarianz genommen? Muss ich dann statt dem Quantil der Standardnormalverteilung das der t-Verteilung nehmen? (Wenn ja bei letzterem, warum eigentlich?)
Bin für jede Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 So 22.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
![[]](/images/popup.gif) da schau her.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 22.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Vielen Dank für den guten Artikel!
Ich denke aber, dass mir der Artikel in erster Linie erst bei der (b) weiterhilft, oder? Wenn es darum geht, die Nullhypothese [mm] \mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2 [/mm] zu untersuchen...
Wie aber komme ich auf ein approximiertes Konfidenzintervall für [mm] \mu_1 [/mm] - [mm] \mu_2 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 So 22.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Wie aber komme ich auf ein approximiertes
> Konfidenzintervall für [mm]\mu_1[/mm] - [mm]\mu_2[/mm] ?
Es gibt eine Dualitaet zwischen Tests und KI. Ausfuehrungen dazu, die auf deine Aufgabe zugeschnitten sind, findest du hier, Seite 24-25.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 So 22.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Vielen Dank!
Da in Aufgabe a) eine allgemeine Antwort für das Konfidenzintervall gesucht ist, müsste doch gerade
[mm] \overline{X} [/mm] - [mm] \overline{Y} \pm \wurzel{\bruch{1}{n} + \bruch{1}{m}} \cdot s_{x,y}\cdot qt_{m+n-2}(1 [/mm] - [mm] \bruch{\alpha}{2})
[/mm]
sein ?
Wo liegt jetzt der Unterschied zwischen bekannter und unbekannter Varianz? Es wird ja in der Aufgabenstellung gebeten, hier zu differenzieren...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 22.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Wo liegt jetzt der Unterschied zwischen bekannter und
> unbekannter Varianz? Es wird ja in der Aufgabenstellung
> gebeten, hier zu differenzieren...
Wenn [mm] $\sigma^2$ [/mm] bekannt ist, dann kannst du ausnutzen, dass $ [mm] \overline{X} [/mm] - [mm] \overline{Y}$ [/mm] normalverteilt ist mit Erwartungswert [mm] $\mu_1-\mu_2$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma^2(\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m})$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 So 22.01.2012 | | Autor: | MattiJo |
Heißt das, ich kann in dem Fall [mm] s_{x,y}^2 [/mm] durch die bekannte Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] ersetzen?
Bei der (b) habe ich nun folgendes Problem:
Im folgenden Fall ist [mm] \overline{X} [/mm] = 22,86 und [mm] \overline{Y} [/mm] = 26,29. Ich will also nun testen, dass bei unbekanntem [mm] \sigma^2 [/mm] die Nullhypothese abgelehnt werden kann.
Für die Nullhypothese [mm] H_0 [/mm] : [mm] \mu_1 [/mm] - [mm] \mu_2 [/mm] = 0 müsste demnach [mm] |T_\theta| [/mm] = [mm] \bruch{\overline{X} - \overline{Y}}{\wurzel{(\bruch{1}{m} + \bruch{1}{n})s_{xy}^2}} [/mm] = [mm] \bruch{22,86-26,29}{\wurzel{(\bruch{1}{7} + \bruch{1}{7}) \cdot 44,02}} [/mm] = 0,97 > [mm] qt_{12}(1-\bruch{\alpha}{2})
[/mm]
Jetzt ist aber [mm] qt_{12}(1-\bruch{\alpha}{2}) [/mm] = 1,782
das 1 - [mm] \alpha [/mm] / 2 t-Quantil bei 12 Freiheitsgraden...
Somit kann ich die Nullhypothese gar nicht ablehnen, oder hab ich einen Fehler?
Wie soll ich das ansonsten interpretieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mo 23.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Heißt das, ich kann in dem Fall [mm]s_{x,y}^2[/mm] durch die
> bekannte Varianz [mm]\sigma^2[/mm] ersetzen?
>
Ja. Und das Quantil der t-Verteilung wird duch das der Standardnormalverteilung ersetzt.
>
>
> Bei der (b) habe ich nun folgendes Problem:
>
> Im folgenden Fall ist [mm]\overline{X}[/mm] = 22,86 und [mm]\overline{Y}[/mm]
> = 26,29. Ich will also nun testen, dass bei unbekanntem
> [mm]\sigma^2[/mm] die Nullhypothese abgelehnt werden kann.
>
> Für die Nullhypothese [mm]H_0[/mm] : [mm]\mu_1[/mm] - [mm]\mu_2[/mm] = 0 müsste
> demnach [mm]|T_\theta|[/mm] = [mm]\bruch{\overline{X} - \overline{Y}}{\wurzel{(\bruch{1}{m} + \bruch{1}{n})s_{xy}^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{22,86-26,29}{\wurzel{(\bruch{1}{7} + \bruch{1}{7}) \cdot 44,02}}[/mm]
> = 0,97 > [mm]qt_{12}(1-\bruch{\alpha}{2})[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $qt_{12}(0.975)=2.1788$
[/mm]
>
> Jetzt ist aber [mm]qt_{12}(1-\bruch{\alpha}{2})[/mm] = 1,782
> das 1 - [mm]\alpha[/mm] / 2 t-Quantil bei 12 Freiheitsgraden...
> Somit kann ich die Nullhypothese gar nicht ablehnen, oder
> hab ich einen Fehler?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Erst recht mit dem obigen Quantil kann man nicht ablehnen...
vg Luis
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