Konform/Winkeltreu < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Mir ist nicht so ganz klar, was denn der Begriff winkeltreu als Eigenschaft einer Abbildung bedeutet. Bzw. dachte ich, dass eine Abbildung f: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC [/mm] genau dann winkeltreu ist, wenn für alle v, w [mm] \in \IC [/mm] (gilt, dass der Winkel zwischen v, w der gleiche ist wie zwischen f(v), f(w) (bei Darstellung im [mm] \IR²)
[/mm]
Jetzt gilt aber, dass die Abbildung f: z [mm] \mapsto [/mm] z² konform ist, also winkeltreu sein sollte.
Betrachte ich jedoch v = [mm] e^{i\pi /2} [/mm] und w = [mm] e^{i\pi/4}
[/mm]
dann wäre v² = [mm] e^{i\pi} [/mm] und w² = [mm] e^{i\pi/2}
[/mm]
Wo der Winkel zwischen den Vektoren v,w [mm] \pi/4 [/mm] war, ist der Winkel zwischen v² und w² [mm] \pi/2 [/mm] , was doch nicht sein sollte?
Es scheint also, als ob ich da was nicht ganz richtig verstanden hätte.
Bitte um Aufklärung, und vielen Dank für alle Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mo 07.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> Mir ist nicht so ganz klar, was denn der Begriff
> winkeltreu als Eigenschaft einer Abbildung bedeutet. Bzw.
> dachte ich, dass eine Abbildung f: [mm]\IC[/mm] -> [mm]\IC[/mm] genau dann
> winkeltreu ist, wenn für alle v, w [mm]\in \IC[/mm] (gilt, dass der
> Winkel zwischen v, w der gleiche ist wie zwischen f(v),
> f(w) (bei Darstellung im [mm]\IR²)[/mm]
> Jetzt gilt aber, dass die Abbildung f: z [mm]\mapsto[/mm] z²
> konform ist, also winkeltreu sein sollte.
> Betrachte ich jedoch v = [mm]e^{i\pi /2}[/mm] und w = [mm]e^{i\pi/4}[/mm]
>
> dann wäre v² = [mm]e^{i\pi}[/mm] und w² = [mm]e^{i\pi/2}[/mm]
>
> Wo der Winkel zwischen den Vektoren v,w [mm]\pi/4[/mm] war, ist der
> Winkel zwischen v² und w² [mm]\pi/2[/mm] , was doch nicht sein
> sollte?
Nein, das ist nicht winkeltreu.
Eine Abbildung ist winkeltreu im Punkt [mm] $z_0$, [/mm] wenn die Winkel zwischen Kurven durch [mm] $z_0$ [/mm] durch die Abbildung nicht verändert werden. Anders ausgedrückt: die Winkel zwischen den Tangentialvektoren der Kurven im Punkt [mm] $z_0$ [/mm] bleiben erhalten. Das ist eine Bedingung an die Jacobimatrix der Funktion f (als Abbildung von [mm] $\IR^2 \rightarrow \IR^2$ [/mm] betrachtet)
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{\textstyle\partial \Re f}{\textstyle\partial \Re z} & \bruch{\textstyle\partial \Re f}{\textstyle\partial \Im z} \\[\jot] \bruch{\textstyle\partial \Im f}{\textstyle\partial \Re z} & \bruch{\textstyle\partial \Im f}{\textstyle\partial \Im z} \end{pmatrix} [/mm]
die unmittelbar die Cauchy-Riemannschen DGLen liefert: es bedeutet nämlich gerade, dass die Multiplikation mit der Jacobimatrix im Punkt [mm] $z_0$ [/mm] eine Drehstreckung ist. Dafür müssen die Diagonalelemente gleich, die Nichtdiagonalelemente entgegengesetzt gleich sein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort, jetzt ist alles klar.
Hatte da eine andere Definition für winkeltreu im Gedächtnis,
mfg,
|
|
|
|
