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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Di 21.09.2010 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Seien $3 < p < q$ Primzahlen und $a [mm] \ge [/mm] 2 und ungerade, a [mm] \in \IN$
[/mm]
Was lässt sich über die Lösungen von [mm] $p^a \equiv [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] (q)$ aussagen? Gibt es für alle ungeraden $a$ eine Lösung ? |
Leider ist mein Wissen in algebr. Zahlentheorie schon etwas [mm] verstaubt,..($\phi(q)$, [/mm] erzeugende Untergruppen,....)
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Hallo wauwau,
wenn ich die Aufgabe recht verstehe, ist für ein gegebenes ungerades a jeweils mindestens eine Lösung [mm] \{p,q\} [/mm] mit 3<p<q gesucht.
Für a=1 sind schon alle Primzahlzwillinge Lösungen.
Für [mm] a\ge{3} [/mm] scheint es für p=5 immer eine Lösung zu geben. Fragt sich nur, wie man zeigt, dass [mm] p^a=3^b [/mm] unmöglich ist.
Besser ist p=7, schon für a>1.
Untersuchen wir die Faktorisierung von [mm] p^a-2:
[/mm]
1) [mm] p^a-2\equiv 2\mod{3}\quad \Rightarrow [/mm] 3 ist kein Teiler von [mm] p^a-2.
[/mm]
2) [mm] p^a-2\equiv \{5,16,22,24\} \mod{25} \Rightarrow p^a-2 [/mm] ist keine Fünferpotenz. (Ich schlabbere hier ein paar Bedingungen, die aber alle erfüllt sind).
Mithin enthält [mm] p^a-2 [/mm] entweder einen Faktor q>p=7 oder ist selbst prim.
Grüße
reverend
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