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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Bestimme die letzten beiden Ziffern der Darstellung [mm] 2^n [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] beliebig. |
Ich muss mod 100 rechnen um auf die letzten beiden Endziffern zu kommen.
Aber in welcher Restklasse sollte ich rechnen, so dass ich jede beliebige natürliche Zahl n habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Fr 27.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Bestimme die letzten beiden Ziffern der Darstellung [mm]2^n[/mm]
> für n [mm]\in \IN[/mm] beliebig.
>
> Ich muss mod 100 rechnen um auf die letzten beiden
> Endziffern zu kommen.
>
> Aber in welcher Restklasse sollte ich rechnen, so dass ich
> jede beliebige natürliche Zahl n habe?
Hallo,
die Lösung besteht aus mehrern Antworten.
z.B. gibt es die Endziffern "16" nicht nur für n=4, sondern (regelmaßig wiederkehrend) auch für bestimmte größere Zahlen n.
Die Endziffern "32" gibt es für n=5 und noch "einige" andere Zahlen n.
Arbeite dich einfach so lange durch die Endziffern 01, 02, 04, 08, 16, 32 ..., bis sich zum ersten mal eine Wiederholung abzeichnet.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Also erst bei [mm] 2^{22} [/mm] kommt 4 wieder in modulo 100
[mm] 2^{23} [/mm] ist 8 in modulo 100
[mm] 2^{24} [/mm] ist 16 in modulo 100
Aber das ist blos eine Vermutung, dass es sich dann wieder ganz wiederholt..
Was mache ich nun mit der Information?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Fr 27.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Also erst bei [mm]2^{22}[/mm] kommt 4 wieder in modulo 100
... und das ist der gleiche Rest wie bei [mm] $2^2$
[/mm]
> [mm]2^{23}[/mm] ist 8 in modulo 100
... und das ist der gleiche Rest wie bei [mm] $2^3$
[/mm]
> [mm]2^{24}[/mm] ist 16 in modulo 100
... wie bei [mm] $2^4$...
[/mm]
>
> Aber das ist blos eine Vermutung, dass es sich dann wieder
> ganz wiederholt..
>
> Was mache ich nun mit der Information?
Versuche nachzuweisen, dass (ab n=2) gilt
[mm] $2^n\equiv 2^{n+20}mod [/mm] 100$.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Fr 27.04.2012 | | Autor: | Lu- |
Nur eine Frage vorher:
Was meinst du mit ab n=2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Fr 27.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies genauer was da vorher über [mm] 2^{22} [/mm] stand!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Fr 27.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Nur eine Frage vorher:
> Was meinst du mit ab n=2 ?
Weil [mm] 2^0=1 [/mm] und [mm] 2^1=2 [/mm] die "Endziffern" 01 bzw. 02 liefern, die aber so bei n=20 bzw. n=21 NICHT wiederkehren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:51 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Lu- |
> Versuche nachzuweisen, dass (ab n=2) gilt
> $ [mm] 2^n\equiv 2^{n+20}mod [/mm] 100 $.
[mm] 2^{n+20} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] * [mm] 2^{20} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] *76 mod 100
ZuZeigen:
[mm] 100//(2^n-2^n*76)
[/mm]
[mm] 100//(-75*2^n)
[/mm]
[mm] 100//(75*2^n)
[/mm]
// bedeutet teilt
Induktion?
n=3
[mm] 100//(75*2^3)
[/mm]
100//600 richtig
I.Annahme [mm] 100//(75*2^n)
[/mm]
I.Schritt n-> n+1
[mm] (75*2^{n+1}) =2*(75*2^n)=2*(100m)
[/mm]
-> durch 100 teilbar.
Frage: Wäre das eleganer gegangen?
Wie gehts nun weiter??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Sa 28.04.2012 | | Autor: | abakus |
> > Versuche nachzuweisen, dass (ab n=2) gilt
> > [mm]2^n\equiv 2^{n+20}mod 100 [/mm].
>
> [mm]2^{n+20}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * [mm]2^{20}[/mm] = [mm]2^n[/mm] *76 mod 100
>
> ZuZeigen:
> [mm]100//(2^n-2^n*76)[/mm]
> [mm]100//(-75*2^n)[/mm]
> [mm]100//(75*2^n)[/mm]
> // bedeutet teilt
>
> Induktion?
Nein, nicht nötig.
Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 25 teilbar ist.
Schau dir den Term [mm] $75*2^n$ [/mm] mal scharf an.
Gruß Abakus
> n=3
> [mm]100//(75*2^3)[/mm]
> 100//600 richtig
>
> I.Annahme [mm]100//(75*2^n)[/mm]
> I.Schritt n-> n+1
> [mm](75*2^{n+1}) =2*(75*2^n)=2*(100m)[/mm]
> -> durch 100 teilbar.
>
> Frage: Wäre das eleganer gegangen?
> Wie gehts nun weiter??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Lu- |
>
> > > Versuche nachzuweisen, dass (ab n=2) gilt
> > > [mm]2^n\equiv 2^{n+20}mod 100 [/mm].
> >
> > [mm]2^{n+20}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * [mm]2^{20}[/mm] = [mm]2^n[/mm] *76 mod 100
> >
> > ZuZeigen:
> > [mm]100//(2^n-2^n*76)[/mm]
> > [mm]100//(-75*2^n)[/mm]
> > [mm]100//(75*2^n)[/mm]
> > // bedeutet teilt
> >
> > Induktion?
> Nein, nicht nötig.
> Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn sie durch
> 4 und durch 25 teilbar ist.
> Schau dir den Term [mm]75*2^n[/mm] mal scharf an.
> Gruß Abakus
Okay
25//75
Wir haben gesagt, n>2
[mm] 75*2^3 [/mm] ist immer dabei, nur noch mit mehrerern 2ern multipliziert.
und [mm] 4//75*2^3)
[/mm]
Wie gehts nun weiter??
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Sa 28.04.2012 | | Autor: | abakus |
> >
> > > > Versuche nachzuweisen, dass (ab n=2) gilt
> > > > [mm]2^n\equiv 2^{n+20}mod 100 [/mm].
> > >
> > > [mm]2^{n+20}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * [mm]2^{20}[/mm] = [mm]2^n[/mm] *76 mod 100
> > >
> > > ZuZeigen:
> > > [mm]100//(2^n-2^n*76)[/mm]
> > > [mm]100//(-75*2^n)[/mm]
> > > [mm]100//(75*2^n)[/mm]
> > > // bedeutet teilt
> > >
> > > Induktion?
> > Nein, nicht nötig.
> > Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn sie
> durch
> > 4 und durch 25 teilbar ist.
> > Schau dir den Term [mm]75*2^n[/mm] mal scharf an.
> > Gruß Abakus
> Okay
> 25//75
> Wir haben gesagt, n>2
> [mm]75*2^3[/mm] ist immer dabei, nur noch mit mehrerern 2ern
> multipliziert.
> und [mm]4//75*2^3)[/mm]
>
> Wie gehts nun weiter??
> Liebe Grüße
Was willst du noch?!?
Du hast vorhin einen Anfang aufgeschrieben, der bis zu einer Klippe führte:
"Zu zeigen:...".
Wir haben eben geklärt, wie dieses "zu zeigen" bewältigt wird.
Gruß Abakus
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Lu- |
ah okay, ich hab es schon verstanden-
Ganz liebe Grüße dir, und schönes wochenende
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