Kongruenz, 2 die Ausnahme < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 19.09.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei 2 teilt nicht a dann gilt:
Die Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod 4) ist lösbar <=> a [mm] \equiv [/mm] 1(mod 4) |
<=
Es gilt nach Vorrausetzung a [mm] \equiv [/mm] 1(mod 4)
Also ist x= [mm] \pm [/mm] 1 ne Lösung. => [mm] x^2 [/mm] =1 [mm] \equiv [/mm] a (mod 4)
=>
Ist x eine Lösung von [mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod 4)
Dann muss ich doch irgendwie verwenden können, dass 2 das a nicht teilt. Wenn 2 nicht a teilt , ist a ungerade. a [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4) und a [mm] \equiv [/mm] -1 (mod4)
mhm?
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Hallo sissile,
was ist denn genau die Frage?
> Sei 2 teilt nicht a dann gilt:
> Die Kongruenz [mm]x^2 \equiv[/mm] a (mod 4) ist lösbar <=> a
> [mm]\equiv[/mm] 1(mod 4)
Wer hat das denn formuliert: "Sei 2 teilt nicht a" ? Hmpf.
> <=
> Es gilt nach Vorrausetzung a [mm]\equiv[/mm] 1(mod 4)
> Also ist x= [mm]\pm[/mm] 1 ne Lösung. => [mm]x^2[/mm] =1 [mm]\equiv[/mm] a (mod 4)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> =>
> Ist x eine Lösung von [mm]x^2 \equiv[/mm] a (mod 4)
> Dann muss ich doch irgendwie verwenden können, dass 2 das
> a nicht teilt. Wenn 2 nicht a teilt , ist a ungerade. a
> [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4) und a [mm]\equiv[/mm] -1 (mod4)
> mhm?
Na eben. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht.
Dass [mm] a\equiv 1\mod{4} [/mm] lösbar ist, wissen wir schon.
Wie steht es mit [mm] a\equiv -1\mod{4} [/mm] ? Ist das lösbar? Wenn ja, wie, und wenn nein, warum nicht?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 24.09.2012 | | Autor: | sissile |
> =>
> Ist x eine Lösung von $ [mm] x^2 \equiv [/mm] $ a (mod 4)
> Dann muss ich doch irgendwie verwenden können, dass 2 das
> a nicht teilt. Wenn 2 nicht a teilt , ist a ungerade. a
> $ [mm] \equiv [/mm] $ 1 (mod 4) und a $ [mm] \equiv [/mm] $ -1 (mod4)
> mhm?
> Na eben. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht.
> Dass $ [mm] a\equiv 1\mod{4} [/mm] $ lösbar ist, wissen wir schon.
> Wie steht es mit $ [mm] a\equiv -1\mod{4} [/mm] $ ? Ist das lösbar? Wenn ja, wie, > und wenn nein, warum nicht?
Es muss nicht lösbar sein. da das Quadrat einer Zahl nicht ungerade sein kann. [mm] x^2 \equiv [/mm] a [mm] \equiv [/mm] -1 (mood 4) <=> [mm] x^2 [/mm] = 3 + 4k mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
Richtig?
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Hallo sissile,
jetzt redest Du Dich heraus.
> > =>
> > Ist x eine Lösung von [mm]x^2 \equiv[/mm] a (mod 4)
> > Dann muss ich doch irgendwie verwenden können, dass 2
> das
> > a nicht teilt. Wenn 2 nicht a teilt , ist a ungerade. a
> > [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 4) und a [mm]\equiv[/mm] -1 (mod4)
> > mhm?
>
> > Na eben. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht.
> > Dass [mm]a\equiv 1\mod{4}[/mm] lösbar ist, wissen wir schon.
>
> > Wie steht es mit [mm]a\equiv -1\mod{4}[/mm] ? Ist das lösbar? Wenn ja, wie,
> > und wenn nein, warum nicht?
>
> Es muss nicht lösbar sein.
Was ist das für eine Aussage? Wir sind hier in der Mathematik.
> da das Quadrat einer Zahl
> nicht ungerade sein kann.
Ich habe bisher Quadratzahlen wie 361, 1089 oder auch einfach 9, 25, 49 für ziemlich ungerade gehalten. 
> [mm]x^2 \equiv[/mm] a [mm]\equiv[/mm] -1 (mood 4)
> <=> [mm]x^2[/mm] = 3 + 4k mit k [mm]\in \IZ[/mm]
>
> Richtig?
Schön, und?
Ein Tipp: wenn x ungerade ist, dann auch [mm] x^2 [/mm] - und umgekehrt.
Was folgt daraus für die ursprünglich zu zeigende Behauptung?
Und: wieviele quadratische Reste gibt es eigentlich [mm] $\mod{4}$?
[/mm]
Grüße
reverend
>
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