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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Do 29.11.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Es sei das Produkt
V:= [mm] \produkt_{1 \le m \le \frac{p-1}{2}}^{}
[/mm]
mit einer Primzahl p ≡ 1 mod 4 gegeben. Hieraus folgt [mm] V^2 [/mm] ≡ −1 mod p.
Weiter sei M = [mm] \{(x,y) \in \IZ^2 : 0 \le x, y < \wurzel{p} \}
[/mm]
Zeige: Es gibt Paare [mm] (x_1, y_1) \not= (x_2, y_2) \in [/mm] M mit [mm] x_1 [/mm] + [mm] Vy_1 [/mm] ≡ [mm] x_2 [/mm] + [mm] Vy_2 [/mm] mod p. |
Hallo zusammen,
diese Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen. Deshalb versuche ich mal die bereitstehenden Informationen zu ordnen:
Für das gegebene V gilt doch: V:= [mm] \produkt_{1 \le m \le \frac{p-1}{2}}^{} [/mm] = [mm] (\frac{p-1}{2})!
[/mm]
Die Formel für [mm] V^2 [/mm] müsste meinen Aufschrieben zufolge aus dem Satz von Wilson folgen.
Wie komme ich zu Paaren, für die die obige Bedingung erfüllt ist?
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Hallo MattiJo,
auch das fängt gut an.
> Es sei das Produkt
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> V:= [mm]\produkt_{1 \le m \le \frac{p-1}{2}}^{}[/mm]
>
> mit einer Primzahl p ≡ 1 mod 4 gegeben. Hieraus folgt
> [mm]V^2[/mm] ≡ −1 mod p.
> Weiter sei M = [mm]\{(x,y) \in \IZ^2 : 0 \le x, y < \wurzel{p} \}[/mm]
>
> Zeige: Es gibt Paare [mm](x_1, y_1) \not= (x_2, y_2) \in[/mm] M mit
> [mm]x_1[/mm] + [mm]Vy_1[/mm] ≡ [mm]x_2[/mm] + [mm]Vy_2[/mm] mod p.
>
> diese Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen. Deshalb versuche
> ich mal die bereitstehenden Informationen zu ordnen:
>
> Für das gegebene V gilt doch: V:= [mm]\produkt_{1 \le m \le \frac{p-1}{2}}^{}[/mm]
> = [mm](\frac{p-1}{2})![/mm]
>
> Die Formel für [mm]V^2[/mm] müsste meinen Aufschrieben zufolge aus
> dem Satz von Wilson folgen.
Das stimmt, aber etwas genauer wirst Du das begründen müssen.
> Wie komme ich zu Paaren, für die die obige Bedingung
> erfüllt ist?
Na, nimm z.B. Paare mit [mm] x_i+Vy_i\equiv 0\mod{p}
[/mm]
Dann kannst Du für jedes [mm] y_i [/mm] ein [mm] x_i [/mm] eindeutig bestimmen.
Oder Du multiplizierst das Ganze nochmal mit V (warum darfst Du das?) und hast [mm] Vx_i-y_i\equiv 0\mod{p}
[/mm]
Damit kannst Du für jedes [mm] x_i [/mm] ein [mm] y_i [/mm] eindeutig bestimmen.
Es gibt also allein hierfür [mm] \bruch{p-1}{2} [/mm] verschiedene Paare.
Grüße
reverend
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