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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:17 Do 14.08.2008 | | Autor: | Fanomos |
| Aufgabe | Aufgabe:
a) Beweisen sie den Satz: Für alle Vektoren [mm] $\vec [/mm] v$ und alle Geraden g der Ebene gilt
[mm] $V(\vec [/mm] v)$ o S(g) = S(g) o [mm] $V(\vec [/mm] v)$ <--> $g [mm] \parallel \vec [/mm] v$
b) Vervollständigen Sie entsprechend:
S(P) o S(Q) = S(Q) o S(P) <--> ...
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Könnte jemand mal schauen ob das richtig bewiesen ist wenn ich sage:
Zu a)
V o S wird dargestellt als Geradenspiegelungen:
Somit gilt:
S(a) o S(b) o S(g) = $ [mm] V(\vec [/mm] v)$ o S(g) |mit a [mm] \parallel [/mm] b und Abstand 1/2 [mm] $\vec [/mm] v$, $g [mm] \perp [/mm] a, b$
S(a) o S(g) o S(b) = |da g [mm] \perp [/mm] b und somit kommutativ
S(g) o S(a) o S(b) = S(g) o [mm] V(\vecv) [/mm] |da g [mm] \perp [/mm] a und somit kommutativ
--> [mm] $V(\vec [/mm] v)$ o S(g) = S(g) o [mm] $V(\vec [/mm] v)$ q.e.d.
Zu b) Es gibt nur zwei Möglichkeiten:
1) P=Q
2) P [mm] \not= [/mm] Q
zu 1)
Da eine Halbdrehung o Halbdrehung mit gleichem Zentrum kommutativ ist, wäre die Behauptung S(P) o S(Q) = S(Q) o S(P) in diesem Fall erfüllt. Ergebnis ist die Identität.
zu 2)
Verkettungen zweier Punktspiegelungen an unterschiedlichen Zentren ergibt eine Verschiebung. Wird dargestellt als das Produkt von 4 Geradenspiegelungen mit a [mm] \perp [/mm] b und c [mm] \perp [/mm] d und [mm] P\not=Q.
[/mm]
-->
--> S(a) o S(b) o S(c) o S(d) = S(P) o S(Q)
--> S(a) o S(b) o S(c) o S(d) = |mit b und c als Verbindungsgerade PQ
--> S(a) o id o S(d) = |mit a [mm] \parallel [/mm] b
--> S(a) o S(d) =
--> $ [mm] V(2*\overrightarrow{ad})$ [/mm]
andersrum:
--> S(c) o S(d) o S(a) o S(b) = S(Q) o S(P)
--> S(d) o S(c) o S(b) o S(a) = |mit c und b als Verbindungsgerade QP
--> S(d) o id o S(a) = |mit d [mm] \parallel [/mm] a
--> S(d) o S(a) =
--> $ [mm] V(2*\overrightarrow{da})$ [/mm]
--> S(P) o S(Q) [mm] \not= [/mm] S(Q) o S(P) <--> P [mm] \not= [/mm] Q
Somit ist die Behauptung nur dann erfüllt wenn P=Q.
Vielen Dank für die Kontrolle.
Gruß, Fanomos
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 16.08.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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