Kongruenzabbildungen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:44 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Lockenheld |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo, ich bearbeite die Aufgabe oben. Ich hoffe, dass das mit dem Link in Ordnung geht ...
Also in der Vorlesung haben wir Sx als die Menge aller Symmetrien bezeichnet. Nur mir ist nicht klar welcher Symmetrien (zb. die am Quadrat?) Woher wiß ich mich welcher "Figur" ich es zu tun habe?
Ich muss ja für die Untergruppe folgendes beweisen.
1) abgeschlossen
2) assozitiav
3) neutrales Element
4) inverse Elemente
Nur ich weiß nicht, mit was ich rechnen soll, sprich welche Abbildungen ich nehmen soll, um die Eigenschaften nachzuweisen.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) anderes Forum
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo, ich bearbeite die Aufgabe oben. Ich hoffe, dass das
> mit dem Link in Ordnung geht ...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
schon die Überschrift "Konkurrenzabbildungen" - welche ich mir mal zu korrigieren erlaubt habe - deutet an, daß Dir einiges entgangen ist. (Oder sollte mir etwas entgangen sein?)
Bevor Du über die Aufgabe an sich nachdenkst, ist mindestens folgendes zu klären:
Was ist eine Figur?
Was ist K? Wie wurde das definiert? Wie werden die Elemente von K miteinander verknüpft?
Wie lauten die Kriterien für Unterguppe? Was ist dafür zu zeigen? (Nachschlagen)
Wenn das Material bereitliegt, kann man anschließend etwas daraus machen.
Gruß v. Angela
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> Also in der Vorlesung haben wir Sx als die Menge aller
> Symmetrien bezeichnet. Nur mir ist nicht klar welcher
> Symmetrien (zb. die am Quadrat?) Woher wiß ich mich welcher
> "Figur" ich es zu tun habe?
>
> Ich muss ja für die Untergruppe folgendes beweisen.
> 1) abgeschlossen
> 2) assozitiav
> 3) neutrales Element
> 4) inverse Elemente
>
> Nur ich weiß nicht, mit was ich rechnen soll, sprich welche
> Abbildungen ich nehmen soll, um die Eigenschaften
> nachzuweisen.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> anderes Forum
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Gut, also K ist die Menge aller Konkurrenzabbildungen (id, Drehung, Spiegelung, Schubspiegelung, Verschiebung). Diese Abbildungen kann mal so verknüpfen, dass die Figur anschließend wieder deckungsgleich ist.
Ich weiß nicht welche Figur hier gemeint ist, sprich ob ich jetzt eine Gerade spiegeln soll oder mich mit einem Viereck beschäftige. Konkurrenzabblidungen gibt es ja an mehreren Figuren.
Die Eigenschaften für die Untergruppe sind asoziativ, abgeschlossen, neutrales Element, inverses Element. Hier muss die Unterguppe eine nichtleere Teilermenge der Mennge K sein. Das ist die Gruppe der Symmetrien auch (das haben wir aufgeschrieben) nur ich hänge am Beweis der Eigenschaften.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was genau die Guppe der Symmetrien Sx beinhaltet. Sind das die Drehsymmetrien am Quadrat ...?
Sx beihaltet ja alle Funktionen, die x auf x abbilden. Nur das sind ja in der Gruppe der Komkurrenzabb. mehrere, z.B. id, Drehung um 360° etc. Woher weiß ich mit welcher Funkion ich die Eigenschaften der Untergruppe nachweisen soll.
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> Gut, also K ist die Menge aller Konkurrenzabbildungen
Hallo,
ich flippe aus! Kongruenzabbildung heißt das.
Wie hattet Ihr die definiert? Die Menge und die Verknüpfungen?
das wäre wichtig, um genau dort anknüpfen zu können. Wir brauchen das unbedingt.
> (id,
> Drehung, Spiegelung, Schubspiegelung, Verschiebung). Diese
> Abbildungen kann mal so verknüpfen, dass die Figur
> anschließend wieder deckungsgleich ist.
>
> Ich weiß nicht welche Figur hier gemeint ist, sprich ob ich
> jetzt eine Gerade spiegeln soll oder mich mit einem Viereck
> beschäftige. Konkurrenzabblidungen gibt es ja an mehreren
> Figuren.
Hier geht es darum: wenn man irgendeine beliegige Figur X gegeben hast, wie auch immer die aussehen mag, und die all die Kongruenzen anschaust, die die Figur auf sich selbst abbilden, dann stellt man fest, daß sie eine Gruppe bilden. Das ist zu zeigen.
> Die Eigenschaften für die Untergruppe
Die Assioziativität mußt Du für die Untergruppeneigenschaft nicht zeigen, sie ergibt sich aus der Gruppeneigenschaft von K.
Nochmal: wie lauten die Unterraumkriterien? Du mußt das nachschlagen, sonst zeigst Du zuviel!
- Warum ist [mm] S_X [/mm] nichtleer? Welche Abbildung ist da immer drin?
- Dann ist zu zeigen, daß für a,b [mm] \in S_X [/mm] auch [mm] a\circ [/mm] b [mm] \in S_X [/mm] sind.
Was bedeutet es, wenn a,b [mm] \in S_X [/mm] sind? Was folgt daraus?
- Weiter ist zu zeigen, daß für jedes [mm] a\in S_X [/mm] auch sein Inverses in dieser Menge liegt.
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was genau die Guppe
> der Symmetrien Sx beinhaltet. Sind das die Drehsymmetrien
> am Quadrat ...?
Nein, wie oben geschildert, alle Kongruenzabbildungen, die die Figur auf sich selbst abbilden.
Wenn aber die Figur X ein Quadrat ist, ist [mm] S_X [/mm] die Menge der Symmetrien des Quadrates, Drehungen und Spiegelungen.
Und wenn die Figur X ein gezeichneter Esel ist, ist die Menge der Symmetrien [mm] S_{esel} [/mm] sehr klein - trotzdem eine Gruppe.
Gruß v. Angela
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Kongruenzabb. = eine längentreue Bijektion der Ebene auf sich heißt eine K.abb. oder eine Bewegung der Ebene.
$ [mm] S_X [/mm] $ ist nicht leer, weil die identische Abbildung stets drin ist.
Eigenschaften der Untergruppe:
a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U
a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] U
a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ b^{-1} \in [/mm] U
Mm, ich weiß aber nicht, was es bedeutet wenn a,b Element der Menge $ [mm] S_X [/mm] $ sind ...
Also a und b sind zwei Abbildungen aus $ [mm] S_X [/mm] $. Das heißt sie führen beide dazu, dass wenn man sie anwendet die Abbildung deckungsgleich ist.
Also habe ich doch wenn ich a o b rechne, wieder die identische Abbildung. Weil ich ja zwei mal eine deckungsgleiche Abbildung ausführe (z.b id oder Drehung um 360°), oder? Und somit ist a o b auch Element $ [mm] S_X [/mm] $.
Oder ist das Quatsch was ich geschrieben habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Sa 17.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]S_X[/mm] ist nicht leer, weil die identische Abbildung stets
> drin ist.
Ist dir klar warum?
> Mm, ich weiß aber nicht, was es bedeutet wenn a,b Element
> der Menge [mm]S_X[/mm] sind ...
Das steht doch in der Aufgabe ganz genau definiert.
> Also a und b sind zwei Abbildungen aus [mm]S_X [/mm]. Das heißt sie
> führen beide dazu, dass wenn man sie anwendet die Abbildung
> deckungsgleich ist.
Es gilt [m]a(X)=X[/m]
> Also habe ich doch wenn ich a o b rechne, wieder die
> identische Abbildung.
Nein, natürlich nicht. zB betrachte zwei Drehungen um 70 und 130 Grad wobie X der Einheitskreis ist! Um zu zeigen das die Verkettung wieder drin ist, musst du versuchen "stur" die def. einzusetzen.
SEcki
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Ja, id ist immer in Sx, weil id immer "kongruent abbildet". Wenn man id ausführt kommt man nochmal zur eigentlichen Figur.
Also wenn a, b in Sx sind, dann sind beides Abbildungen aus der Gruppe der Kongruenzabbildungen, die die Figur auf sich selbst abbilden.
So aber wenn ich jetzt a o b rechne und bei deinem Beispiel bleibe. Ich denke a, b sollen Element von Sx sein, dann kann doch a (z.B) gar nicht 70° sein, denn wenn ich im 70° drehe, erhalte ich ja eine andere Figur. Ich kann doch dann im Falle der Drehungen nur 0° bzw. 360° ausgehen, oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Sa 17.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> So aber wenn ich jetzt a o b rechne und bei deinem Beispiel
> bleibe. Ich denke a, b sollen Element von Sx sein, dann
> kann doch a (z.B) gar nicht 70° sein, denn wenn ich im 70°
> drehe, erhalte ich ja eine andere Figur.
Nein, wieso sollte es so sein? Das hängt sicherlich von X ab! Hier ist es der Einheitskreis.
> Ich kann doch dann
> im Falle der Drehungen nur 0° bzw. 360° ausgehen, oder???
Nein. Im Übrigen ist eine Drehung um 360° genau das gleiche wie eine Drehung um 0° genaus das gleiche wie die Identität.
SEcki
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Also kann ich am Beispiel des Einheitskreises jede beliebige Gradzhal holen, denn wenn ich den um x° drehe verändert sich ja die Figur nicht ??
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> Also kann ich am Beispiel des Einheitskreises jede
> beliebige Gradzhal holen, denn wenn ich den um x° drehe
> verändert sich ja die Figur nicht ??
Hallo,
wenn Du auf Rückfragen hast, stell diese als Fragen, roter Kasten. Sonst werden sie von potentiellen Helfern leicht übersehen.
Ja, die Menge [mm] S_{Einheitskreis} [/mm] enthält sehr viele Elemente.
Gruß v. Angela
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