Kongruenzarithmetik Modulo < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mo 19.01.2015 | | Autor: | steinole |
| Aufgabe | Berechnen Sie mittels Kongruenzarithmetik
1! + 2! + 3! + 4! .... + 100! = [mm] \summe_{j=1}^{100} [/mm] j! (mod 12) |
Hi,
ich bin überfragt, was diese Aufgabenstellung angeht.
Was ich weiß:
Wenn man die einzelnen Ergebnisse ausrechnet, bekommen wir drei verschiedene Restklassen.
1! [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 12)
1! + 2! [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 12)
1! + 2! + 3! [mm] \equiv [/mm] 9 (mod 12)
1! + 2! + 3! + 4! = 33 [mm] \equiv [/mm] 9 (mod 12)
... alle weiteren haben ebenfalls die Restklasse 9.
Ob mir das überhaupt was bringt, und inwiefern ich nun weiter berechnen soll, ist mir aber nicht bewusst. Würde mich über Lösungen freuen.
MFG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 19.01.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Berechnen Sie mittels Kongruenzarithmetik
>
> 1! + 2! + 3! + 4! .... + 100! = [mm]\summe_{j=1}^{100}[/mm] j! (mod
> 12)
>
> Hi,
>
> ich bin überfragt, was diese Aufgabenstellung angeht.
>
> Was ich weiß:
>
> Wenn man die einzelnen Ergebnisse ausrechnet, bekommen wir
> drei verschiedene Restklassen.
>
> 1! [mm]\equiv[/mm] 1 (mod 12)
> 1! + 2! [mm]\equiv[/mm] 3 (mod 12)
> 1! + 2! + 3! [mm]\equiv[/mm] 9 (mod 12)
> 1! + 2! + 3! + 4! = 33 [mm]\equiv[/mm] 9 (mod 12)
> ... alle weiteren haben ebenfalls die Restklasse 9.
>
Das stimmt (Warum?), und damit bist du fertig.
Gruß aus HH
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mo 19.01.2015 | | Autor: | steinole |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Hat es damit zu tun, dass wir ab 4! immer den Faktor (3*4 = 12) haben und dann immer einen Rest von 1! + 2! + 3! erhalten?
Und dann reicht es bei der Aufgabenstellung aus zu sagen, dass es drei Restklassen gibt und die Berechnung ist abgeschlossen? Muss ich die nicht noch miteinander verknüpfen?
MFG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mo 19.01.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hat es damit zu tun, dass wir ab 4! immer den Faktor (3*4 =
> 12) haben und dann immer einen Rest von 1! + 2! + 3!
> erhalten?
Allerdings.
>
> Und dann reicht es bei der Aufgabenstellung aus zu sagen,
> dass es drei Restklassen gibt und die Berechnung ist
> abgeschlossen? Muss ich die nicht noch miteinander
> verknüpfen?
>
Ab 4! sind die Restklassen 0, die sind besonders einfach zu verknpfen.
Gruß D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 19.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schreibst [mm] \summe_{j=1}^{100}=1!+2!+3!+n*12 n\in \IN [/mm] mit deiner Begrundung, dass in jedem j! mit j>3 der Faktor 3*4=12 vorkommt
d.h. man muss nur die Restklasse von 1!+2!+3!=9 bestimmen, aber das ist einfach nur 9 (und nicht 3 Restklassen.)
also [mm] \summe_{j=1}^{100}=9mod [/mm] 12
Gru0 leduart
|
|
|
|
