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| Aufgabe | Gesucht ist jeweils ein System zweier Kongruenzen:
(i) [mm] x\equiv a\,\,\mbox{mod\,}6 [/mm] und [mm] x\equiv b\,\,\mbox{mod\,}15, [/mm]
(ii) [mm] x\equiv a\,\,\mbox{mod\,}6 [/mm] und [mm] x\equiv b\,\,\mbox{mod\,}35,
[/mm]
das keine gemeinsame Lösung besitzt. |
Hallo,
ich muss hier also scheinbar jeweils a und b bestimmen, sodass es kein x gibt, dass die Kongruenzen erfüllt. Ich könnte da jetzt rumraten bis ich irgendetwas gefunden habe, das passt, aber kann man da auch irgendwie rechnerisch ran? Das sollte ja schon irgendwie gehen, ich weiß nur nicht auf welchem Weg?
Gruß T_Sleeper
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Hallo T-Sleeper,
> Gesucht ist jeweils ein System zweier Kongruenzen:
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> (i) [mm]x\equiv a\,\,\mbox{mod\,}6[/mm] und [mm]x\equiv b\,\,\mbox{mod\,}15,[/mm]
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> (ii) [mm]x\equiv a\,\,\mbox{mod\,}6[/mm] und [mm]x\equiv b\,\,\mbox{mod\,}35,[/mm]
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> das keine gemeinsame Lösung besitzt.
> Hallo,
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> ich muss hier also scheinbar jeweils a und b bestimmen,
> sodass es kein x gibt, dass die Kongruenzen erfüllt. Ich
> könnte da jetzt rumraten bis ich irgendetwas gefunden
> habe, das passt, aber kann man da auch irgendwie
> rechnerisch ran? Das sollte ja schon irgendwie gehen, ich
> weiß nur nicht auf welchem Weg?
>
> Gruß T_Sleeper
Hier meine Idee zu Teil (I): Betrachte für a bzw. b die Restklassen [mm]\{a +6m |m \in \mathbb{Z}\}[/mm] bzw. [mm]\{b +15n | n \in \mathbb{z}\}[/mm]. Es gibt genau dann eine gemeinsame Lösung der Kongruenzen [mm]x \equiv a \pmod{6} \, x \equiv b \pmod{15}[/mm], wenn die Diophantische Gleichung [mm]a+6m=b+15n[/mm] lösbar ist. Das ist aber gleichbedeutend mit [mm]a-b=15n -6m[/mm]. Diese gleichung ist aber genau dann lösbar, wenn g.g.T. von 6 und 15 Teiler von $a-b$ ist.
Was aber, wenn der g.g.T. von 6 und 15 nicht Teiler von a-b ist, also a und b nicht kongruent modulo 3 sind?
Teil (II) macht mich stutzig, denn nach dem Chinesischen Restsatz gibts ja immer eine Lösung (6 und 35 sind ja teilerfremd) ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 So 27.12.2009 | | Autor: | T_sleeper |
Du hast bei (ii) recht. Es gibt immer eine Lösung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 So 27.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Gesucht ist jeweils ein System zweier Kongruenzen:
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> (i) [mm]x\equiv a\,\,\mbox{mod\,}6[/mm] und [mm]x\equiv b\,\,\mbox{mod\,}15,[/mm]
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> (ii) [mm]x\equiv a\,\,\mbox{mod\,}6[/mm] und [mm]x\equiv b\,\,\mbox{mod\,}35,[/mm]
>
> das keine gemeinsame Lösung besitzt.
Hallo,
nur so eine Idee:
wie sieht die Geschichte aus, wenn b zwischen 16 und 34 liegt?
Gruß Abakus
> Hallo,
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> ich muss hier also scheinbar jeweils a und b bestimmen,
> sodass es kein x gibt, dass die Kongruenzen erfüllt. Ich
> könnte da jetzt rumraten bis ich irgendetwas gefunden
> habe, das passt, aber kann man da auch irgendwie
> rechnerisch ran? Das sollte ja schon irgendwie gehen, ich
> weiß nur nicht auf welchem Weg?
>
> Gruß T_Sleeper
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