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| Aufgabe | Bestimmen sie alle primen restklassen modulo 10 und stellen sie eine verknüpfungstafel auf. bestimmen sie eine ganze zahl a mit ggt(a,10)=1 mit folgender eigenschaft:
[mm] a^4 \equiv [/mm] 1 mod 10 und [mm] a^k \equiv [/mm] 1 mod 10 => 4 [mm] \le [/mm] k
bestimmen sie außerdem eine ganza zahl b mit ggt(b,10)=1 für die die aussage:
[mm] b^4 \equiv [/mm] 1 mod 10 und [mm] b^k \equiv [/mm] 1 mod 10 => 4 [mm] \le [/mm] k |
die primen restklassen sind ja 1,3,7 und 9 mod10
da diese eine endliche abelsche gruppe bilden (sieht man an der verknüpfungstafel) weiß man, dass gilt:
[mm] 1^4 [/mm] mod10=1
[mm] 3^4 [/mm] mod10=1
[mm] 7^4 [/mm] mod10=1
[mm] 9^4 [/mm] mod10=1
das heißt, diese zahlen würden die erste bedingung erfüllen. aber die zweite mit dem [mm] a^k [/mm] versteh ich irgendwie nicht. außer der 1 kann ich ja kein element beliebig oft mit sich selbst verknüpfen und bekomme doch immer 1 mod 10 raus. z.B. [mm] 9^5=59049=9 [/mm] mod10.
kann mir da jemand helfen, was die genau von mir wollen?
würde mich über eine antwort freuen.
schöne grüße,
grafzahl123
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Hallo grafzahl,
die Aufgabe ist in der Tat eigenartig formuliert.
> Bestimmen sie alle primen restklassen modulo 10 und stellen
> sie eine verknüpfungstafel auf. bestimmen sie eine ganze
> zahl a mit ggt(a,10)=1 mit folgender eigenschaft:
>
> [mm]a^4 \equiv[/mm] 1 mod 10 und [mm]a^k \equiv[/mm] 1 mod 10 => 4 [mm]\le[/mm] k
>
> bestimmen sie außerdem eine ganza zahl b mit ggt(b,10)=1
> für die die aussage:
> [mm]b^4 \equiv[/mm] 1 mod 10 und [mm]b^k \equiv[/mm] 1 mod 10 => 4 [mm]\le[/mm] k
Stimmt das so? Es ist doch kein Unterschied zwischen a und b?
> die primen restklassen sind ja 1,3,7 und 9 mod10
> da diese eine endliche abelsche gruppe bilden (sieht man
> an der verknüpfungstafel) weiß man, dass gilt:
> [mm]1^4[/mm] mod10=1
> [mm]3^4[/mm] mod10=1
> [mm]7^4[/mm] mod10=1
> [mm]9^4[/mm] mod10=1
>
> das heißt, diese zahlen würden die erste bedingung
> erfüllen.
Stimmt.
> aber die zweite mit dem [mm]a^k[/mm] versteh ich
> irgendwie nicht. außer der 1 kann ich ja kein element
> beliebig oft mit sich selbst verknüpfen und bekomme doch
> immer 1 mod 10 raus. z.B. [mm]9^5=59049=9[/mm] mod10.
>
> kann mir da jemand helfen, was die genau von mir wollen?
Wenn aus [mm] a^k\equiv 1\mod{10} [/mm] folgen soll, dass [mm] k\ge{4} [/mm] ist, dann kommen doch nur noch die 3 und die 7 in Frage.
Es macht hier auch nichts aus, dass k selbst durch 4 teilbar sein muss. Die Folgerung besagt ja nicht, dass k=5 auch eine Lösung sein muss.
Grüße
reverend
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erstmal danke für deine schnelle antwort!
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> Stimmt das so? Es ist doch kein Unterschied zwischen a und
> b?
>
ja das steht so in der aufgabe.
aber ich versteh nicht, warum nur 3 und 7 in frage kommen. z.B. ist ja 9^10=3486784401 mod10=1. dann wäre k doch auch größer als 4, oder!?
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Hallo nochmal,
> erstmal danke für deine schnelle antwort!
>
> >
> > Stimmt das so? Es ist doch kein Unterschied zwischen a und
> > b?
> >
> ja das steht so in der aufgabe.
Toll.
> aber ich versteh nicht, warum nur 3 und 7 in frage kommen.
> z.B. ist ja 9^10=3486784401 mod10=1. dann wäre k doch auch
> größer als 4, oder!?
Ja, aber es folgt nicht daraus, weil ja auch [mm] 9^2\equiv 1\mod{10} [/mm] ist. Wenn k schon bekannt ist, ist die Aufgabe doch vollkommen witzlos.
Du sollst aus [mm] 9^k\equiv 1\mod{10} [/mm] folgern, dass [mm] k\ge{4} [/mm] ist. Das aber geht nicht, siehe oben.
Grüße
reverend
>
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