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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:53 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pitmat |
| Aufgabe | Die Aufgaben lauten:
1) p prim, x, y aus Z, n aus N. Man soll zeigen:
(i) x ist kongruent zu y modulo [mm] p^n. [/mm] Daraus folgt: [mm] x^p [/mm] ist kongruent zu [mm] y^p [/mm] modula p^(n+1)
(ii) Ist p >=3, ggt(p,x) = 1 und a = max {b aus N mit b ist Teiler von (x-y)}, dann gilt: a+1 = max{b aus N mit b teilt [mm] (x^p [/mm] - [mm] y^p)}. [/mm] |
Ich habe bei (i) angefangen und geschrieben:
(i) [mm] [x]p^n [/mm] = [mm] [y]p^n [/mm] = [mm] [z*p^n [/mm] + [mm] x]p^n |^p
[/mm]
<=> [mm] [x^p]p^n [/mm] = [mm] [(z*p^n [/mm] + [mm] x)^p]p^n
[/mm]
Das ist ja fast das schon, was man haben will, aber wie kommt man auf den letzten Schritt?
Bei (ii) habe ich nicht verstanden, wie das gemeint sein soll.
Beispiel: x = 8, y = 2, p = 3, n = 2, ggt(p,x) = 1
Alle Teiler von (x-y) = 6 sind doch aber nun 1, 2, 3 und 6. Der größte davon wäre 6. Dann wäre a = 6.
Aber: [mm] (x^p [/mm] - [mm] y^p) [/mm] = [mm] 8^3 [/mm] - [mm] 2^3 [/mm] = 504 und der größte Teiler von 504 wäre doch 504 selbst und nicht 6 + 1 = 7?
Kann mir vielleicht jemand helfen und sagen, was ich da falsch gemacht habe? Und wie (i) weitergeht? Das wär echt nett!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo pitmat, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
sei also [mm]x=ap^n+c[/mm], dann ist [mm] x^p\mod{p^{n+1}}=\left(\summe_{i=0}^{p}\vektor{p\\i}(ap^n)^i c^{p-i}\right)\mod{p^{n+1}}=\cdots
[/mm]
Aus dieser Summe sind ja höchstens die Glieder für i=0 und i=1 zu betrachten.
[mm] x^p\mod{p^{n+1}}=\quad \cdots \quad =\left(\vektor{p\\0}c^{p}+\vektor{p\\1}ap^n*c^{p-1}\right)\mod{p^{n+1}}=\left(c^p+\blue{p}*ap^n*c^{p-1}\right)\mod{p^{n+1}}=c^p\mod{p^{n+1}}
[/mm]
- und das wollten wir doch sehen. 
Entsprechend gilt ja für [mm] y=bp^n+c, [/mm] dass [mm] y^p\equiv c^p\mod{p^{n+1}} [/mm] ist.
Zu Aufgabenteil (ii) geht es mir wie Dir: ich verstehe ihn nicht. Selbst, wenn man annimmt, dass der größte echte Teiler gemeint ist, scheint die Aufgabe noch keinen Sinn zu machen. Ich lasse Deine Frage daher auf nur "teilweise beantwortet", vielleicht hat ja jemand anders eine Idee.
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pitmat |
Vielen Dank für deine Hilfe! Eine Frage habe ich noch: Wieso muss man nur die Glieder der Summe für i = 0 und i = 1 betrachten`? Ich stehe da gerade irgendwie auf dem Schlauch. :-(
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Hallo nochmal,
alle andern enthalten den Faktor [mm] (ap^n)^i [/mm] mit [mm] i\ge{2} [/mm] und sind damit sicher [mm]\equiv{0}\mod{p^{n+1}}[/mm].
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pitmat |
Danke, ich wollte gerade schreiben, dass ich es kapiert habe.  War wohl zu langsam.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 So 29.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zu Aufgabenteil (ii) geht es mir wie Dir: ich verstehe ihn
> nicht. Selbst, wenn man annimmt, dass der größte echte
> Teiler gemeint ist, scheint die Aufgabe noch keinen Sinn zu
> machen. Ich lasse Deine Frage daher auf nur "teilweise
> beantwortet", vielleicht hat ja jemand anders eine Idee.
Kann es sein, dass die Aufgabenstellung bei (ii) lauten sollte: "Ist $p [mm] \ge [/mm] 3$, $ggT(p, x) = 1$ (also [mm] $\p \nmid [/mm] x$) und $a := [mm] \max\{ b \in \IN \mid p^b \text{ teilt } x - y \}$, [/mm] dann gilt $a + 1 = [mm] \max\{ b \in \IN \mid p^b \mid (x^p - y^p) \} [/mm] =: A$."
Dies waere sozusagen eine Verschaerfung von (i): die Aussage (i) zeigt gerade, dass $a + 1 [mm] \le [/mm] A$ ist. Es bliebe also noch zu zeigen, dass $A [mm] \le [/mm] a + 1$ ist; oder anders formuliert: [mm] $x^p \equiv y^p \pmod{p^{n+1}} \Rightarrow [/mm] x [mm] \equiv [/mm] y [mm] \pmod{p^n}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 03.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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