Kongruenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Floyd |
hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter:
Sei (G,*) eine Gruppe und [mm] \equiv [/mm] eine Kongruenzrelation auf G, dann ist die Klasse von e ein Normalteiler von G, und a [mm] \equiv [/mm] b genau dann, wenn [mm] a^{-1}b \in [/mm] [e].
Es ist mir zwar klar, dass dies so sein muss aber wie beweis ich das??
( A ist Normalteiler von B wenn gilt [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B bA=Ab)
Könnt ihr mir bitte helfen!
mfg
Floyd
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Di 16.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Floyd!
Ist $a [mm] \in [/mm] [e]$, dann gilt für alle $b [mm] \in [/mm] G$:
$a [mm] \equiv [/mm] e [mm] \equiv beb^{-1}$,
[/mm]
also:
$a [mm] \in b[e]b^{-1}$.
[/mm]
Ist umgekehrt
$a [mm] \in b[e]b^{-1}$,
[/mm]
so gibt es ein $a' [mm] \in [/mm] [e]$ mit
$a = [mm] ba'b^{-1}$.
[/mm]
Aus
$a' [mm] \equiv [/mm] e$
folgt aber auf Grund der Eigenschaft einer Kongruenzrelation:
[mm] $ba'b^{-1} \equiv beb^{-1} \equiv [/mm] e$,
also:
$a [mm] \equiv [/mm] e$
und damit
$a [mm] \in [/mm] [e]$.
Damit ist der erste Teil der Behauptung gezeigt.
Der zweite folgt so:
$a [mm] \equiv [/mm] b$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] e [mm] \equi a^{-1}b$
[/mm]
(Eigenschaft einer Kongruenzrelation)
[mm] $\Leftrightarrow a^{-1}b \in [/mm] [e]$.
Liebe Grüße
Julius
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