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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Di 22.12.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Löse die folgenden Kongruenzensysteme vollständig und gib jeweils auch die kleinste positive Lösung an:
x [mm] \equiv [/mm] 10 mod 11; x [mm] \equiv [/mm] 5 mod 12; x [mm] \equiv [/mm] 6 mod 13; |
ich habe jetzt die r, s berechnet
r = 11* 12* 13
si= r/ri
r= 1716
s1= 156
s2= 143
s3= 132
und dann komme ich auf
k1 * 156 = 1 mod 11
k2 * 143 = 1 mod 12
k3 * 132 = 1 mod 13
aber wie komme ich da jetzt auf die k???
wie rechne ich die aus?
danke lg
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Hallo csak,
Du hättest hier auch ansetzen können:
[mm] k_1*12*13\equiv k_1*1*2\equiv 2k_1\equiv 1\mod{11}
[/mm]
[mm] k_2*11*13\equiv k_2*11*1\equiv 11k_2\equiv 1\mod{12}
[/mm]
[mm] k_3*11*12\equiv k_3*(-2)*(-1)\equiv 2k_3\equiv 1\mod{13}
[/mm]
Das gleiche erhältst Du natürlich auch aus Deinen Gleichungen, nehmen wir mal die erste:
[mm] k_1*156\equiv 2k_1\equiv 1\mod{11}, [/mm] da [mm] 156\equiv 2\mod{11}
[/mm]
So erhältst Du [mm] k_1=6, k_2=11 [/mm] und [mm] k_3=7.
[/mm]
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Di 22.12.2009 | | Autor: | csak1162 |
ich erhalte als lösung
40248 + 1716 [mm] \IZ
[/mm]
was ist die kleinste positive lösungsmenge???
danke lg
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Hallo nochmal,
[mm] 40248\equiv 10\mod{11}
[/mm]
[mm] 40248\equiv\ 0\mod{12}
[/mm]
[mm] 40248\equiv\ 0\mod{13}
[/mm]
Das ist offenbar keine Lösung. Außerdem ist sie ja viel zu groß. Hier müsstest Du noch [mm] 40248\mod{1716} [/mm] bestimmen.
Aber erst brauchst Du die richtige Lösung.
Was hast Du denn gerechnet?
Die kleinste positive Lösung liegt, zur Kontrolle, zwischen [mm] 21^2 [/mm] und [mm] 22^2.
[/mm]
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 22.12.2009 | | Autor: | csak1162 |
ich habe gerechnet
k = 6 * 156 * 10 + 11 * 143 * 12 + 7 * 132 * 13 = 40284
die lösung lautet ja k + [mm] r\IZ
[/mm]
r = 1716
????
was stimmt dran nicht oder was muss ich noch tun dass es stimmt???ß
danke lg
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Hallo csak,
Du sollst nicht die Moduln, sondern die Restklassen einsetzen:
> k = 6 * 156 * 10 + 11 * 143 * 12 + 7 * 132 * 13 = 40284
Im ersten Produkt hast Du das ja auch richtig gemacht.
Es ist also [mm] k=6*156*\blue{10}+11*143*\blue{5}+7*132*\blue{6}=22769
[/mm]
Weiter ist [mm] 22769\equiv 461\mod{(11*12*13)}
[/mm]
...und die Lösung also [mm] 461+1716\IZ
[/mm]
Klar?
lg
rev
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