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Hallo an Alle,
es geht um folg. Aufgabe:
Sei (G,°) eine endliche Gruppe und a,b aus G.
Man zeige, dass a und [mm] bab^{-1} [/mm] dieselbe Ordnung besitzen.
Wir hatten in der Vorlesung, dass ord(a) ein Teiler von |G| ist. Außerdem gilt [mm] a^{|G|}=e. [/mm] Wenn ich dann zeige, dass [mm] (bab^{-1})^{|G|} [/mm] auch e ist, bin ich dann fertig? Oder hat jemand eine bessere Idee?
VG mathmetzsch
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> Sei (G,°) eine endliche Gruppe und a,b aus G.
> Man zeige, dass a und [mm]bab^{-1}[/mm] dieselbe Ordnung besitzen.
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> Wir hatten in der Vorlesung, dass ord(a) ein Teiler von |G|
> ist. Außerdem gilt [mm]a^{|G|}=e.[/mm] Wenn ich dann zeige, dass
> [mm](bab^{-1})^{|G|}[/mm] auch e ist, bin ich dann fertig?
Hallo,
nein, damit bist Du nicht fertig. Es ist [mm] x^{|G|}=e [/mm] für jedes Element x einer endl. Gruppe.
Hier geht es um die Ordnung von [mm] (bab^{-1}). [/mm] Du willst doch zeigen, daß sie = ord(a) ist.
Ja, dann mach doch jetzt mal [mm] (bab^{-1})^{ord(a)}. [/mm] Das ist =e.
Also ist schonmal ord [mm] (bab^{-1}) \le [/mm] ord(a).
Daß aber [mm] (bab^{-1}) [/mm] nicht kleiner sein kann als ord(a) kann man schnell zeigen. Führt zum Widerspruch.
(Vielleicht ist das aber auch sowieso schon alles klar, weil x --> [mm] bxb^{-1} [/mm] ein Automorphismus ist. Da kenne ich mich nicht so aus.)
Gruß v. Angela
Oder hat
> jemand eine bessere Idee?
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> VG mathmetzsch
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Hallo,
ja in der Tat. Wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass das ein Automorphismus ist.
Und warum bin ich dann noch mal fertig mit dieser Feststellung?
Ich hätte noch eine Idee. ord(a) ist ja ein Teiler von |G|, d.h. es gibt eine ganz Zahl m mit |G|=ord(a)*m.
[mm] Also(bab^{-1})^{ord(a)}=((bab^{-1})^{|G|}))^{1/m}=e
[/mm]
Geht das vielleicht?
daniel
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> Hallo,
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> ja in der Tat. Wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass das
> ein Automorphismus ist.
> Und warum bin ich dann noch mal fertig mit dieser
> Feststellung?
Weil ich GLAUBE, daß da Elemente auf Elemente gleicher Ordnung abgebildet werden. Aber da müßte ich noch mal in mich gehen, bzw. die Nase in ein schlaues Buch stecken.
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> Ich hätte noch eine Idee. ord(a) ist ja ein Teiler von |G|,
> d.h. es gibt eine ganz Zahl m mit |G|=ord(a)*m.
>
> [mm]Also(bab^{-1})^{ord(a)}=((ba}b^{-1})^{|G|}))^{1/m}=e[/mm]
Ich versteh ja nicht so recht, warum Du in Dein |G| so verliebt bist...
Du hast doch ord(a)! (Jaja, das ist ein Teiler von |G|, aber das ist im Moment doch nicht so wichtig.)
Es ist [mm] a^{ord(a)}=e [/mm] und [mm] (bab^{-1})^{ord(a)}=bab^{-1}bab^{-1}....bab^{-1}bab^{-1}=a^{ord(a)}=e
[/mm]
Angenommen, es gäbe ein l<ord(a) mit [mm] e=(bab^{-1})^l [/mm]
Dann wäre [mm] e=(bab^{-1})^l=bab^{-1}bab^{-1}....bab^{-1}bab^{-1}=a^l
[/mm]
==> l [mm] \ge [/mm] ord(a) Widerspruch.
Gruß v. Angela
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